§ 34. Устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии

Первые теоретические решения задачи по определению критической нагрузки для сжатой в осевом направлении тонкостенной цилиндрической оболочки (рис. 6.20, а) были даны Лоренцом и С. П. Тимошенко в начале века. Они считали, что оболочка имеет идеально правильную цилиндрическую форму, а ее начальное напряженное состояние является безмоментным и однородным, и определяли наименьшую нагрузку, при которой наряду с начальным безмоментным состоянием появлялись смежные изгибные состояния равновесия оболочки. Такую постановку задачи устойчивости оболочек называют классической.

Рассмотрим решение задачи устойчивости цилиндрической оболочки в классической постановке при осесимметричной форме потери устойчивости. Для получения однородного линеаризованного уравнения, описывающего такую форму потери устойчивости, воспользуемся широко известным уравнением изгиба цилиндрической оболочки при осесимметричной нагрузке. Это уравнение нетрудно получить из приведенных в § 32 общих зависимостей

где — поперечный прогиб оболочки; — интенсивность радиальной осесимметричной нагрузки.

Рис. 6.20.

Учитывая, что при осесимметричной форме потери устойчивости изменение кривизны срединнои поверхности находим фиктивную радиальную нагрузку

Считая, что в начальном состоянии , и заменяя в уравнении на , приходим к однородному линеаризованному уравнению

Это уравнение совпадает с линеаризованным уравнением изгиба сжатого прямого стержня, связанного с упругим винклеровским основанием (см. § 15). Роль изгибной жесткости стержня играет изгибная жесткость оболочки D, а роль упругого основания — жесткость оболочки на растяжение-сжатие в окружном направлении.

Решение такого уравнения обсуждалось в § 15; в частности, если при задано:

то решение имеет вид , где — число полуволн, по которым изгибается образующая цилиндрической оболочки (рис. 6.20, б). Соответствующие собственные значения интенсивности нагрузки равны

Если число полуволн считать достаточно большим, а величину непрерывно изменяющемся, то из условия минимума

находим

При этом критическое осевое сжимающее напряжение (при )

Неосесимметричные формы потери устойчивости цилиндрической оболочки, сжатой в осевом направлении, в классической постановке можно исследовать с помощью системы уравнений (6.39), которая при принимает вид

Если для обоих торцов оболочки заданы граничные условия (6.52), то решение системы (6.71) можно найти в виде

Подставив эти функции в систему уравнений (6.71) и сократив общий для всех слагаемых множитель , получим однородную систему алгебраических уравнений

Равенство нулю определителя этой системы приводит к собственным значениям нагрузки

где

При большом числе полуволн или комплекс можно рассматривать как непрерывно изменяющийся параметр. Определяя условие минимума по этому параметру, снова приходим к формуле (6.69), причем критическое значение комплекса ) равно

Заметим, что последнее выражение не дает конкретных значений , а только устанавливает некоторую связь между ними. Таким образом, критической точке бифуркации соответствует целая серия различных комбинаций чисел полуволн, по которым может происходить потеря устойчивости оболочки, включая , т. е. осесимметричную форму потери устойчивости.

Итак, из приведенного решения следует, что начальное безмоментное напряженное состояние упругой идеально правильной цилиндрической оболочки с граничными условиями (6.52) становится неустойчивым, когда осевое сжимающее напряжение превысит значение

Суммарная критическая сжимающая сила

не зависит от радиуса оболочки R, а определяется только толщиной оболочки h и упругими свойствами материала Е и .

Как отмечалось, условия (-единственный вариант граничных условий, допускающих простое аналитическое решение задачи устойчивости цилиндрической оболочки. При других граничных условиях решение системы уравнений (6.71) даже при однородном безмоментном напряженном состоянии резко усложняется.

Долгое время решение Лоренца и Тимошенко оставалось единственным, описывающим потерю устойчивости упругой цилиндрической оболочки, равномерно сжатой в осевом направлении, и только недавно с помощью ЭЦВМ удалось сделать следующий шаг — рассмотреть задачу при произвольных граничных условиях с учетом неоднородного начального напряженно-деформированного состояния.

При произвольных граничных условиях и однородном безмоментом начальном состоянии критическую нагрузку можно числить следующим путем [19]. Исключив из системы уравнений (6.71) функцию усилий, эту систему можно свести к одному разрешающему уравнению относительно нормального прогиба :

Решение этого уравнения с постоянными коэффициентами найдем в виде .

Подстановка этой функции в разрешающее уравнение дает характеристическое уравнение восьмой степени относительно параметра .

Определив (для конкретных значений параметров оболочки, нагрузки и числа волн) восемь корней характеристического уравнения которые могут быть вещественными, комплексными или мнимыми, получим выражение для поперечного прогиба

Выразив заданные на торцах оболочки однородные граничные условия (по четыре условия на каждом торце) через функцию и подчинив последнее выражение этим граничным условиям, придем к системе восьми однородных линейных алгебраических уравнений относительно постоянных . Условие обращения в нуль определителя этой системы уравнений позволяет найти собственные значения нагрузки . Перебирая различные значения числа волн в окружном направлении , для каждой конкретной оболочки можно найти , приводящее к наименьшему собственному значению нагрузки . В таком решении машинный счет используется для определения корней характеристического уравнения и для раскрытия определителя восьмого порядка.

Как показали вычисления, выполненные рядом авторов, все варианты граничных условий (см. § 33) за исключением для достаточно длинных оболочек приводят практически к тому же значению критической нагрузки, что и решение Лоренца и С. П. Тимошенко (примерно, начиная с , где . При граничных условиях критическая нагрузка оказывается в 2 раза меньшей: (для достаточно длинных оболочек). В реальных конструкциях граничные условия обычно не реализуются, поэтому полученные для них критические нагрузки большого практического значения не имеют. Таким образом, можно считать, что для идеально правильной достаточно длинной цилиндрической оболочки, находящейся в безмоментном начальном напряженном состоянии, критическое сжимающее напряжение практически не зависит от граничных условии.

Дальнейшие уточнения задачи устойчивости сжатой в осевом направлении цилиндрической оболочки связаны с учетом моментности ее начального напряженного состояния. Напомним, что в классической постановке начальное напряженное состояние оболочки считалось однородными и безмоментными. Граничные условия, рассматриваемые в решении, относились только к бифуркационным перемещениям и никак не учитывались в докритическом состоянии оболочки. При классической постановке как бы предполагалось, что в докритическом состоянии закрепления торцов оболочки не стесняют ее радиальных перемещений. Но в большинстве практических случаев нагружения цилиндрической оболочки радиальные перемещения на ее торцах бывают стеснены шпангоутами, днищами и т. д.

Поэтому даже при равномерном сжатии реальной оболочки в ней возникает начальное осесимметричное моментное напряженное состояние.

При решении задачи в обычной линейной постановке, когда уравнения равновесия формулируются для недеформированного элемента оболочки, начальный осесимметричный изгиб цилиндрической оболочки описывается уравнением (6.65) с учетом .

В интересующем нас случае нагружения оболочки и это уравнение можно записать в следующем виде:

Решение уравнения (6.72) будет

где частное решение неоднородного уравнения в рассматриваемом случае равно

Постоянные должны определяться из четырех граничных условий, задаваемых на торцах оболочки (по два на каждом из них). Но для не очень коротких оболочек решение существенно упрощается. Так, если , то взаимным влиянием закреплений торцов можно пренебречь и, помещая начало координат на одном из них, записать решение уравнения (6.72) для зоны вблизи этого торца в виде

где — постоянные, определяемые только из двух граничных условий при .

Например, если при заданы граничные условия , то вблизи этого торца

Аналогичное решение уравнения (6.72) получается для зоны вблизи второго торца оболочки. Стеснение радиальных перемещений на торцах сжатой в осевом направлении оболочки приводит не только к изгибу образующих, но вызывает окружные начальные усилия, определяемые зависимостью

Для определения критической осевой нагрузки цилиндрической оболочки, находящейся в моментном начальном состоянии, можно использовать систему уравнений, относящуюся к оболочке вращения, близкой к цилиндрической [23], и аналогичную системе (6.71). В данном случае эту систему уравнений запишем так:

где и определяются из решения уравнения (6.72).

Полученная система уравнений имеет переменные коэффициенты и ее решение целесообразно строить каким-либо численным методом. Для этого примем

Таким образом, система уравнений в частных производных (6.73) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций , причем гармоники оказываются несвязанными, поэтому достаточно исследовать одну гармонику.

При заданных на торцах оболочки граничных условиях для численное решение такой системы уравнений аналогично решению уравнения для стержня на упругом основании (см. § 15) и не вызывает принципиальных трудностей [12, 23].

Напомним, что выше начальный прогиб и начальное окружное усилие определены с использованием решения уравнения обычного линейного краевого эффекта. Такой краевой эффект не оказывает заметного влияния на критическую нагрузку, так как зона начального моментного состояния локализована вблизи закрепленных торцов, а амплитуда начального прогиба при нагрузках порядка критических невелика. Однако для сжатой в осевом направлении цилиндрической оболочки имеется одно обстоятельство, существенно увеличивающее влияние начального моментного напряженного состояния оболочки на критические нагрузки. Осевые усилия в цилиндрической оболочке могут заметно влиять на докритические прогибы , если абсолютные значения осевых усилий имеют порядок . Для выявления этого влияния при определении начального прогиба вместо линейного уравнения осесимметричного изгиба оболочки (6.65) следует использовать так называемое уравнение нелинейного осесимметричного краевого эффекта

Это линеаризованное неоднородное уравнение получается в результате составления условий равновесия для искривленного элемента оболочки (как и при выводе однородных линеаризованных уравнений устойчивости). В рассматриваемом случае и уравнение (6.74) принимает вид

Решение полученного уравнения можно записать в следующей форме:

где .

Частное решение и параметр к определяются по тем формулам, которые использовались при решении линейного уравнения

При малых (по сравнению с единицей) значениях параметра решение уравнения нелинейного краевого эффекта мало отличается от решения обычного линейного уравнения осесимметричного изгиба цилиндрической оболочки. Но при приближении значения параметра к единице понятие «краевого эффекта» теряет силу, так как возмущения, возникающие у торцов оболочки, распространяются на расстояние, значительно превышающее зону обычного линейного краевого эффекта. При эти возмущения охватывают всю длину оболочки, а их амплитуды неограниченно возрастают.

Для исследования устойчивости такой осесимметричной изгибной формы равновесия цилиндрической оболочки можно воспользоваться системой уравнений (6.73), но величины и следует определить из решения уравнения нелинейного краевого эффекта.

Как показывают вычисления, до достижения значения появляются неосесимметричные формы равновесия оболочки, смежные с исходной осесимметричной изгибной формой . На рис. 6.21 показан график зависимости от относительной длины оболочки при различных значениях коэффициента Пуассона , (при граничных условиях . В табл. 6.1. приведены взятые из той же работы значения для различных граничных условий при

Начальное моментное напряженное состояние снижает классическое критическое значение осевого сжимающего напряжения цилиндрической оболочки, причем в зависимости от граничных условий и коэффициента Пуассона это снижение критической нагрузки колеблется примерно от 0 до 20%.

Таким образом, учет граничных условий при определении начального моментного напряженно-деформированного состояния сжатой в осевом направлении цилиндрической оболочки вносит некоторую поправку в классическое решение.

Но решающая корректировка результата решения задачи устойчивости цилиндрической оболочки в классической постановке связана с учетом отклонений срединной поверхности реальной оболочки от идеально правильной цилиндрической формы, . т. е. с учетом так называемых начальных неправильностей или начальных несовершенств. Впервые роль начальных неправильностей обсуждалась и оценивалась в работах Флюгге, Доннела и несколько позже в ряде работ Койтера. Окончательная ясность в этот вопрос внесена сравнительно недавно благодаря работам различных авторов, использовавших машинный счет [23].

Наиболее четко прослеживается роль осесимметричных начальных неправильностей. В этом случае с помощью линеаризованных уравнений (6.73) можно найти то значение осевой сжимающей нагрузки, при превышении которой начальная форма равновесия цилиндрической оболочки перестает быть устойчивой. Для выявления качественной картины рассмотрим оболочку, имеющую в ненагруженном состоянии осесимметричный прогиб

Если предположить, что и закрепление торцов оболочки не стесняет докритических осесимметричных радиальных перемещений, то изгиб образующей при осесимметричных формах равновесия оболочки будет, очевидно, описываться уравнением (см. § 17).

где — дополнительный осесимметричный прогиб, появляющийся в результате нагружения оболочки осевым сжимающим усилием — полный прогиб осесимметрично нагруженной оболочки.

Рис. 6.21.

Таблица 6.1

При граничных условиях решение уравнения дает

где

Тогда полный докритический прогиб оболочки

Причем начальное окружное усилие при докритической осесимметричной форме равновесия оболочки, связанное с дополнительным прогибом , равно

Подставив эти значения и в систему уравнений (6.73) и решив ее численным методом, можно найти критическое значение в зависимости от амплитуды начального прогиба. Аналогичный путь решения приводит к и при других осесимметричных начальных прогибах .

Многочисленные результаты вычислений, проведенных рядом авторов, показали, что величина чрезвычайно чувствительна к амплитуде и форме начальной осесимметричной неправильности оболочки. На рис. 6.22 показана зона, в которой лежат кривые, при различных законах шнач , характеризующие снижение критической нагрузки в зависимости от безразмерной амплитуды начального прогиба . Для оболочки с начальной неправильностью формы может оказаться в несколько раз меньше классического критического значения .

В реальной оболочке неправильности могут быть различной формы, причем для тонких оболочек амплитуды и формы начальных неправильностей — факторы трудноконтролируемые.

Рис. 6.22.

Исследование влияния таких начальных неправильностей произвольной формы на критическую нагрузку цилиндрической оболочки, сжатой в осевом направлении, становится практически неразрешимой проблемой. Причем для цилиндрической оболочки с начальными неправильностями неосесимметричной формы, кроме точек бифуркации, которые можно обнаружить с помощью линеаризованных уравнений типа (6.73), имеется серия различных предельных критических точек. Теоретическое их определение возможно только с позиций нелинейной теории.