§ 5. Энергетический подход к определению критических нагрузок

Исходное состояние равновесия, рассмотренной в предыдущем параграфе стержневой системы (см. рис.1.15.) известно. Для определения точек бифуркации нужно найти условия существования новых равновесных состояний, смежных с исходным. Для этого можно подсчитать полную потенциальную энергию в состоянии, смежном с исходным. Тогда условие стадионарности этой энергии при должно привести к точкам бифуркации исходного состояния.

Если при этом полную потенциальную энергию подсчитывать в виде разложения по , то для определения точек бифуркации, видимо, не понадобятся высокие степени . Как будет видно из дальнейшего, для определения точек бифуркации в разложении полной потенциальной энергии необходимо и достаточно учесть квадратичные слагаемые относительно .

Полная потенциальная энергия складывается из внутренней энергии деформации и потенциала внешних сил.

Энергия деформации упругих шарниров при отклонениях системы на углы равна

Потенциал внешних сил с точностью до постоянного слагаемого определяется выражением

Ограничившись квадратичными членами разложения косинусов, окончательно найдем

где Э о — полная потенциальная энергия исходного состояния равновесия, не зависящая от .

В рассматриваемой системе с двумя степенями свободы условие стационарности полной энергии приводит к двум уравнениям

т. е. к той системе двух линейных однородных уравнений, которая получена в § 4:

Приравняв нулю определитель этой системы, можно найти значения , соответствующие двум точкам бифуркации, и конфигурации стержневой системы в окрестностях этих точек (см. рис. 1.15, б и в).

В приведенном решении (как и в решении, полученном выше с помощью линеаризованных уравнений) непосредственно не фигурировало условие устойчивости исходного состояния равновесия. Поэтому пока не понятно, почему при исходное состояние равновесия неустойчиво.

Для доказательства того, что при переходе через первую точку бифуркации исходное состояние равновесия перестает быть устойчивым, приведем другой вывод уравнений (1.29), основанный на теореме Лагранжа.

Согласно теореме Лагранжа, консервативная механическая система находится в состоянии устойчивого равновесия только тогда, когда ее полная потенциальная энергия минимальна. Таким образом, если система находится в устойчивом равновесии, то всякие допустимые по условиям закрепления системы отклонения приводят к увеличению ее полной потенциальной энергии.

Определим изменение полной потенциальной энергии , происходящее при переходе рассматриваемой системы к новому состоянию, смежному с исходным. Ограничившись квадратичными относительно и слагаемыми, из выражения (1.28) получим

Если исходное состояние устойчиво, то при любых сочетаниях должно выполняться условие . Ненагруженная система при находится в устойчивом исходном состоянии равновесия, так как , где U определяется из выражения (1.27). При любых не равных нулю отклонениях условие выполняется.

Критической называют нагрузку , при превышении которой исходное состояние равновесия перестает быть устойчивым. Поэтому при имеются отклонения, приводящие к . Но при возможны отклонения, приводящие к или к . В соответствии с выражением (1.30) для тех отклонений, при которых , можно записать следующее:

(1.31)

Критическую нагрузку можно определить как наименьшее значение нагрузки, при котором возможны отклонения от исходного состояния, приводящие к . Нетрудно убедиться, что необходимое условие минимума нагрузки , определяемой выражением (1.31), снова приводит к системе уравнений (1.29). Обозначим

где .

Тогда необходимые условия минимума P запишутся так:

Так как , воспользовавшись выражением (1.32), можно записать

Как видим, снова получена система уравнений (1.29), определяющая точки бифуркации исходного состояния равновесия. Но теперь можно утверждать, что значение , соответствующее первой точке бифуркации, является критическим, т. е. в

смотренной задаче .

На рис. 1.17 схематично поясняются два варианта вывода уравнений (1.29). В первом варианте (рис. 1.17, а) использовали условие стационарности полной потенциальной энергии системы в состоянии равновесия, смежном с исходным. Во-втором варианте (рис. 1.17, б) исследовали знак изменения полной потенциальной энергии при отклонениях системы от исходного состояния равновесия. Оба варианта решения приводят к одной и той же критической точке бифуркации .

В рассматриваемой задаче система имеет две степени свободы и в соответствии с этим выше найдены две точки бифуркации. На рис. 1.18 показано изменение полной потенциальной энергии при отклонениях системы от исходного состояния равновесия.

Рис. 1.17.

При полная потенциальная энергия минимальна и любые отклонения по и приводят к ее увеличению (рис. 1.18, а). При исходное состояние равновесия соответствует точке минимакса полной потенциальной энергии. Это состояние неустойчиво, поскольку возможны отклонения системы, приводящие к (рис. 1.18, б). При значение полной потенциальной энергии в исходном состоянии равновесия становится максимальным и любые отклонения системы приводят к (рис. 1.18, в).

Рис. 1.18.

Энергетический подход к определению точек бифуркации и критических нагрузок может быть применен и в более сложных случаях. Для систем с распределенными параметрами при исходное состояние равновесия всегда соответствует точкам минимакса полной потенциальной энергии, т. е. при любых значениях полная потенциальная энергия в исходном неустойчивом состоянии не становится максимальной.