Глава 5. Энергетический метод исследования устойчивости пластин

Теория устойчивости упругих пластин первоначально появилась в энергетическом варианте. В 1890 г. на заседании Лондонского математического общества была доложена работа Брайана «Об устойчивости пластины, нагруженной в своей плоскости», в которой впервые сформулирован и применен к решению конкретных задач энергетический критерий устойчивости пластин. С тех пор энергетический подход используют для решения разных задач устойчивости пластин (и не только пластин) при различных условиях нагружения и закрепления.

В гл. 5 изложены основы энергетического подхода к исследованию устойчивости пластин и рассмотрено использование энергетического метода для приближенного исследования поведения пластин после потери устойчивости.

§ 24. Энергетический критерий устойчивости в форме Брайана

Рассмотрим тонкую упругую пластину, нагруженную в своей плоскости (рис. 4.1). Устойчивость плоского начального состояния такой пластины исследуем с помощью энергетического критерия в форме Брайана при допущениях, которые сформулированы в § 19.

В начальном невозмущенном состоянии равновесия в срединной плоскости пластины действуют усилия которые будем считать известными. Отклонение пластины от начального состояния равновесия зададим перемещениями точек ее срединной плоскости:

где — бесконечно малый параметр, не зависящий от координат; — конечная функция координат.

В соответствии с намеченной в гл. 2 общей схемой исследования устойчивости с помощью энергетического подхода подсчитаем пропорциональное изменение полной потенциальной энергии при отклонениях пластины от начального невозмущенного состояния равновесия.

Поперечные прогибы пластины w вызывают изменения кривизны и кручение ее срединной плоскости, определяемые формулами (4.11) и (4.12):

Кроме того, срединная плоскость испытывает удлинения и сдвиги, пропорциональные квадратам производных поперечного прогиба и подсчитываемые по формулам

На этих удлинениях и сдвигах начальные усилия совершают работу. Дальнейшие этапы вывода аналогичны приведенным в § 9 и здесь не воспроизведены. Окончательно, опуская множитель и индекс , получим выражение изменения полной потенциальной энергии пластины

где энергия изгиба пластины V подсчитывается по формуле

Интегрирование в (5.4) и (5.5) производится по всей поверхности пластины.

Точки бифуркации начального состояния равновесия определяются из условия стационарности , т. е. из условия

Это условие, при котором изменение полной потенциальной энергии подсчитывается по зависимости (5.4), или эквивалентное ему условие при дополнительном требовании минимальной нагрузки будем называть энергетическим критерием устойчивости пластин в форме Брайана.

Условие (5.6) можно использовать как для точного решения, так и для построения приближенного решения задач устойчивости пластин.

Сначала покажем, что из этого условия следут основное линеаризованное уравнение (4.33). Уравнение Эйлера для функционала (5.4) имеет вид (см. приложение II)

где

После дифференцирования (при ) из уравнения (5.7) следует, что

где

Таким образом, из условия стационарности можно получить однородное линеаризованное уравнение (4.33), которое раньше получено из условий равновесия, составленных для искривленного элемента пластины. В частности, если пластина нагружена только контурными внешними усилиями, то начальные усилия удовлетворяют уравнениям равновесия

и уравнение (5.8) преобразуется к виду

Условие можно использовать для построения приближенного решения задач устойчивости пластин методом Рэлея—Ритца.

В этом случае функцию поперечного прогиба задают, например, в виде ряда

где — координатные функции, удовлетворяющие (каждая в отдельности) геометрическим граничным условиям задачи. Если все действующие на пластину нагрузки изменяются пропорционально параметру , то, подставив ряд (5.11) в выражение (5.4) и выполнив необходимые операции дифференцирования и интегрирования, получим

Учитывая структуру выражения (5.4), нетрудно установить, что зависимость (5.12) будет квадратичной формой от N параметров . Поэтому условие стационарности АЭ приводит к системе N однородных линейных уравнений с неизвестными :

Равенство иулю определителя этой последней системы уравнений дает уравнение, из которого можно найти N приближенных собственных значений параметра нагрузки наименьшее из этих собственных значений приближенно равно .

Заметим, что при численной реализации метода Рэлея — Ритца вместо условия иногда удобнее воспользоваться другой эквивалентной формулировкой энергетического критерия устойчивости (см. § 9), положив при дополнительном требовании , где — параметр, пропорционально которому изменяются все приложенные к пластине нагрузки. В этом случае приходим к следующему соотношению:

где — распределение начальных усилий в срединной плоскости пластины при величину V подсчитываем по формуле (5.5). Минимизируя каким-либо численным методом выражение (5.14), находим .

Прежде чем привести примеры решения задач устойчивости энергетическим методом, сделаем замечания по изложенному выводу энергетического критерия Брайана.

Рис. 5.1.

Особо необходимо подчеркнуть, что критерий Брайана выражается через начальные усилия , которые до решения задачи устойчивости должны быть предварительно найдены из решения плоской задачи (точно или приближенно). В исключительных случаях критерий Брайана может быть записан непосредственно через внешние контурные нагрузки. Так, при однородном начальном напряженном состоянии (рис. 5.1, а) постоянные величины можно вынести за знак интегрирования и изменение полной потенциальной энергии подсчитывать с помощью зависимости

Для пластины (рис. 5.1, б), нагруженной изменяющимся по линейному закону погонным усилием решение плоской задачи очевидно: . Тогда можно записать

В общем случае величину следует подсчитывать через начальные усилия по зависимости (5.4). Например, если прямоугольная пластина с закрепленным относительно поперечных перемещений контуром сжата произвольно изменяющимся вдоль стороны пластины усилием интенсивности (рис. 5.2, а), то использование выражений (5.15) или (5.16) при определении может привести к сколь угодно большой ошибке.

На рис. 5.2, б показана прямоугольная пластина, сжатая четырьмя сосредоточенными силами . Если для такой пластины попытаться подсчитать изменение полной потенциальной энергии по выражению (5.15) или (5.16), то следует записать

При закрепленных относительно поперечного прогиба w продольных сторонах пластины два последних интеграла в этом выражении тождественно равны нулю. Тогда при любых совместимых с граничными условиями поперечных прогибах, т. е. в данном случае выражение (5.15) приводит к абсурдному результату: нагруженная сжимающими силами пластина не может потерять устойчивость ни при каких значениях этих сил [1]. В то же время, предварительно определив и воспользовавшись зависимостью (5.4), получим конечное значение . Поэтому во избежание такого рода недоразумений при использовании энергетического критерия в форме Брайана целесообразно подсчитывать по зависимости (5.4).

Следующее замечание связано с тем, что при выводе выражения (5.4) точкам срединной плоскости пластины сообщались только поперечные перемещения а перемещения в плоскости пластины сразу полагались тождественно равными нулю. При этом может возникнуть вопрос, не приводит ли такое ограничение перемещений точек срединной плоскости пластины к завышению критических нагрузок, т. е. не может ли пластина потерять устойчивость при перемещениях не равных нулю, раньше, чем это следует из критерия, полученного в предположении равенства их нулю.

Для ответа на этот вопрос выясним, как отразится на значении введение перемещений того же порядка малости, как и поперечное перемещение . Пусть перемещения, переводящие пластину в новое состояние равновесия, смежное с начальным, заданы в виде , где — бесконечно малый параметр, не зависящий от координат.

Рис. 5.2.

Изменение кривизны срединной плоскости по-прежнему определяется формулами (5.2). Удлинения и сдвиги в срединной плоскости пластины следует подсчитывать не по формулам (5.3), а по формулам (4.24), Следовательно, можно записать

где

Величины выражаются через функцию по формулам (5.3).

Определив пропорциональное изменение полной потенциальной энергии, получим

где, как и ранее, величина V подсчитывается по формуле (5.5). Дополнительное слагаемое V2, зависящее от перемещений равно

Очевидно, — величина положительно определенная, т. е. при любых не равных тождественно нулю функциях всегда . Откуда следует, что для получения минимальной критической нагрузки функции необходимо положить тождественно равными нулю (перемещения пластины как жесткого целого не рассматриваем). Итак, с той же степенью точности, с которой верны формулы (4.24), можно считать, что при потере устойчивости точки срединной поверхности пластины получают только поперечные перемещения (перемещения второго порядка малости, сопутствующие потере устойчивости пластины пока не рассматриваем).

Если удлинения и углы сдвига подсчитывать не по формулам (4.24), а по общим зависимостям (2.22), то учет перемещений приведет к поправкам в значениях критических нагрузок порядка по сравнению с единицей (см. § 7).

Следует заметить, что вывод выражения (5.4) не зависит от причин появления начальных усилий в срединной плоскости пластины. Эти усилия могли возникнуть под действием контурных или массовых нагрузок, перепада температур, структурных превращений в материале пластины и т. д.

Рис. 5.3.

В любом случае (после того, как начальные усилия определены) критерий в форме Брайана может быть использован для исследования устойчивости плоского напряженного состояния тонкой упругой пластины.

Перейдем к примерам, иллюстрирующим применение приближенного энергетического метода исследования устойчивости пластин. Рассмотрим прямоугольную пластину с одним свободным краем (рис. 5.3, а). Пусть в направлении оси пластина сжата контурными усилиями, действующими по двум противоположным сторонам, причем

где — фиксированный параметр .

Как отмечалось, при таком нагружении прямоугольной пластины решение плоской задачи очевидно: . Выражение (5.4) принимает вид

Если по трем остальным сторонам пластина свободно оперта, то функцию поперечного прогиба удобно апроксимировать рядом

Для пластин со свободным краем обнаруживается основное преимущество метода Рэлея—Ритца по сравнению с методом Галеркина: при выборе координатных функций можно не заботиться об удовлетворении силовых граничных условий на свободном краю пластины. Ограничившись одним членом ряда, находим

Подставив значения производных в выражение для и выполнив несложные операции интегрирования, получим

Собственные значения нагрузки равны

При наименьшее собственное значение приближенно равно критическому

где

Вид пластины, потерявшей устойчивость, схематично изображен на б. В частности, при получим согласуется с результатом, приведенным в § 21. Взяв большее число членов ряда, можно определить с любой степенью точности и при других значениях параметра и отношения сторон пластины .

В качестве второго примера рассмотрим сплошную круглую пластину постоянной толщины, равномерно сжатую по контуру распределенной нагрузкой q (рис. 4.14, а); тогда очевидно .

Исследуем осесимметричную форму потери устойчивости такой пластины. В этом случае изменение кривизны срединной плоскости определяется формулами

Удлинения и сдвиги в срединной плоскости равны:

Выражение (5.4) принимает вид

где

Если край пластины защемлен и граничные условия на нем , то для приближенного решения можно принять, что

Если для определения критического значения воспользоваться соотношением (5.14), которое в данной задаче имеет вид

то ограничившись одним первым слагаемым, в выражении для в случае пластины постоянной жесткости D получим

где . Точное значение (см. §22) .

Учитывая большее число членов ряда и минимизируя выражение (5.18) по безразмерным параметрам , нетрудно получить результат с любой степенью точности. Значения коэффициента К, подсчитанные при различном числе членов ряда, будут следующими:

Решенная задача легко обобщается на случай пластины переменной толщины ; тогда вместо соотношения (5.18) следует записать, что

где — распределение начальных радиальных усилий при , которое необходимо предварительно определить из решения осесимметричной плоской задачи для круглой пластины переменной толщины.