Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава 5. Энергетический метод исследования устойчивости пластинТеория устойчивости упругих пластин первоначально появилась в энергетическом варианте. В 1890 г. на заседании Лондонского математического общества была доложена работа Брайана «Об устойчивости пластины, нагруженной в своей плоскости», в которой впервые сформулирован и применен к решению конкретных задач энергетический критерий устойчивости пластин. С тех пор энергетический подход используют для решения разных задач устойчивости пластин (и не только пластин) при различных условиях нагружения и закрепления. В гл. 5 изложены основы энергетического подхода к исследованию устойчивости пластин и рассмотрено использование энергетического метода для приближенного исследования поведения пластин после потери устойчивости. § 24. Энергетический критерий устойчивости в форме БрайанаРассмотрим тонкую упругую пластину, нагруженную в своей плоскости (рис. 4.1). Устойчивость плоского начального состояния такой пластины исследуем с помощью энергетического критерия в форме Брайана при допущениях, которые сформулированы в § 19. В начальном невозмущенном состоянии равновесия в срединной плоскости пластины действуют усилия
где В соответствии с намеченной в гл. 2 общей схемой исследования устойчивости с помощью энергетического подхода подсчитаем пропорциональное Поперечные прогибы пластины w вызывают изменения кривизны и кручение ее срединной плоскости, определяемые формулами (4.11) и (4.12):
Кроме того, срединная плоскость испытывает удлинения и сдвиги, пропорциональные квадратам производных поперечного прогиба и подсчитываемые по формулам
На этих удлинениях и сдвигах начальные усилия
где энергия изгиба пластины V подсчитывается по формуле
Интегрирование в (5.4) и (5.5) производится по всей поверхности пластины. Точки бифуркации начального состояния равновесия определяются из условия стационарности
Это условие, при котором изменение полной потенциальной энергии Условие (5.6) можно использовать как для точного решения, так и для построения приближенного решения задач устойчивости пластин. Сначала покажем, что из этого условия следут основное линеаризованное уравнение (4.33). Уравнение Эйлера для функционала (5.4) имеет вид (см. приложение II)
где
После дифференцирования (при
где
Таким образом, из условия стационарности
и уравнение (5.8) преобразуется к виду
Условие В этом случае функцию поперечного прогиба задают, например, в виде ряда
где
Учитывая структуру выражения (5.4), нетрудно установить, что зависимость (5.12) будет квадратичной формой от N параметров
Равенство иулю определителя этой последней системы уравнений дает уравнение, из которого можно найти N приближенных собственных значений параметра нагрузки Заметим, что при численной реализации метода Рэлея — Ритца вместо условия
где Прежде чем привести примеры решения задач устойчивости энергетическим методом, сделаем замечания по изложенному выводу энергетического критерия Брайана.
Рис. 5.1. Особо необходимо подчеркнуть, что критерий Брайана выражается через начальные усилия
Для пластины (рис. 5.1, б), нагруженной изменяющимся по линейному закону погонным усилием
В общем случае величину На рис. 5.2, б показана прямоугольная пластина, сжатая четырьмя сосредоточенными силами
При закрепленных относительно поперечного прогиба w продольных сторонах пластины два последних интеграла в этом выражении тождественно равны нулю. Тогда Следующее замечание связано с тем, что при выводе выражения (5.4) точкам срединной плоскости пластины сообщались только поперечные перемещения Для ответа на этот вопрос выясним, как отразится на значении
Рис. 5.2. Изменение кривизны срединной плоскости по-прежнему определяется формулами (5.2). Удлинения и сдвиги в срединной плоскости пластины следует подсчитывать не по формулам (5.3), а по формулам (4.24), Следовательно, можно записать
где
Величины Определив пропорциональное
где, как и ранее, величина V подсчитывается по формуле (5.5). Дополнительное слагаемое V2, зависящее от перемещений
Очевидно, Если удлинения и углы сдвига подсчитывать не по формулам (4.24), а по общим зависимостям (2.22), то учет перемещений Следует заметить, что вывод выражения (5.4) не зависит от причин появления начальных усилий
Рис. 5.3. В любом случае (после того, как начальные усилия определены) критерий в форме Брайана может быть использован для исследования устойчивости плоского напряженного состояния тонкой упругой пластины. Перейдем к примерам, иллюстрирующим применение приближенного энергетического метода исследования устойчивости пластин. Рассмотрим прямоугольную пластину с одним свободным краем (рис. 5.3, а). Пусть в направлении оси
где Как отмечалось, при таком нагружении прямоугольной пластины решение плоской задачи очевидно:
Если по трем остальным сторонам пластина свободно оперта, то функцию поперечного прогиба удобно апроксимировать рядом
Для пластин со свободным краем обнаруживается основное преимущество метода Рэлея—Ритца по сравнению с методом Галеркина: при выборе координатных функций можно не заботиться об удовлетворении силовых граничных условий на свободном краю пластины. Ограничившись одним членом ряда, находим
Подставив значения производных в выражение для
Собственные значения нагрузки равны
При
где
Вид пластины, потерявшей устойчивость, схематично изображен на В качестве второго примера рассмотрим сплошную круглую пластину постоянной толщины, равномерно сжатую по контуру распределенной нагрузкой q (рис. 4.14, а); тогда очевидно Исследуем осесимметричную форму потери устойчивости такой пластины. В этом случае изменение кривизны срединной плоскости определяется формулами
Удлинения и сдвиги в срединной плоскости равны:
Выражение (5.4) принимает вид
где
Если край пластины защемлен и граничные условия на нем
Если для определения критического значения
то ограничившись одним первым слагаемым, в выражении для
где Учитывая большее число членов ряда и минимизируя выражение (5.18) по безразмерным параметрам
Решенная задача легко обобщается на случай пластины переменной толщины
где
|
1 |
Оглавление
|