§. 10. Энергетический критерий устойчивости в форме С. П. Тимошенко

Для записи энергетического критерия устойчивости в форме Брайана предварительно требуется определить начальные напряжения в упругом теле. При решении некоторых задач устойчивости иногда оказывается удобным записать энергетический критерий в другой форме, не содержащей непосредственно начальных напряжений невозмущенного состояния равновесия [6]. Покажем, как это можно сделать.

Устойчивость равновесия упругого тела, нагруженного системой мертвых сил, исследуем при допущениях, которые использованы в § 9. Для описания возмущенного состояния равновесия, смежного с начальным невозмущенным состоянием, снова воспользуемся бесконечно малым параметром , не зависящим от координат. Но теперь отклонения точек тела от их начальных положений будем определять с точностью до включительно. Тогда для перемещений точек тела в новом отклоненном состоянии можно записать следующие выражения:

где — перемещения точек тела в начальном невозмущенном состоянии равновесия; — конечные функции координат.

Компоненты деформаций в новом возмущенном состоянии равновесия подсчитываем с точностью до слагаемых, имеющих множитель :

Компоненты деформаций в начальном состоянии определяем по формулам (2.25), компоненты деформаций , линейно зависящие от производных функций — по формулам (2.26).

Величины . подсчитываем по формулам

В этих формулах, как и в формулах (2.26), опущены слагаемые, содержащие малые по сравнению с единицей множители типа и т. д. Эта точность вычисления деформаций соответствует введенной ранее модели упругого тела, которое до потери устойчивости напряжено, но не деформировано.

В новом возмущенном состоянии внутренняя потенциальная энергия тела определяется зависимостями с той разницей, что входящие в зависимость (2.31) величины подсчитываются по формулам (2.50). Потенциал внешних сил

где — потенциал внешних сил в начальном состоянии равновесия:

Величина определяется перемещениями

Величина — перемещениями :

Полную потенциальную энергию в возмущенном состоянии представим в виде

где и определяются зависимостями (2.30) и (2.31).

Сделав преобразования, указанные в предыдущем параграфе, энергетический критерий устойчивости (опуская множитель ) можно записать так:

где

Причем в выражение для входят перемещения . Использовав зависимость (2.45) и формулы (2.50), из этого выражения можно выделить слагаемые, содержащие перемещения . Тогда получим , где

В значение включены все остальные слагаемые, не зависящие от перемещений .

Величину можно рассматривать как такую вариацию полной потенциальной энергии , когда возможные перемещения совпадают с перемещениями . Поскольку начальное состояние равновесно, при любых перемещениях , совместимых с наложенными на тело связями. В частности, положив перемещения равными нулю, из выражения (2.56) вновь получим выражение для энергетического критерия устойчивости в форме Брайана.

Перемещения можно подобрать так, чтобы из выражения исключить начальные напряжения .

Используя зависимости закона Гука (2.4), введем величины

Тогда выражение (2.31) для можно преобразовать к виду

где

Как и в выражении (2.41), непосредственно не зависит от начальных напряжений или деформаций.

Для дальнейших преобразований воспользуемся обычными формулами интегрирования по частям объемных интегралов:

где — компоненты вектора внешней единичной нормали к недеформированной поверхности рассматриваемого тела.

Выразив компоненты начальных деформаций согласно формулам (2.25) через начальные перемещения , получим

После интегрирования по частям это выражение принимает вид

где

Теперь из выражения для исключим начальные перемещения. Для этого достаточно потребовать, чтобы во всем объеме тела выполнялись уравнения

На той части поверхности тела для которой в явном виде заданы поверхностные нагрузки , должны выполняться условия

Перемещения должны быть совместимы с наложенными на тело связями, поэтому на той части поверхности тела , для которой в явном виде заданы начальные перемещения , всегда должны выполняться условия

При выполнении всех перечисленных условий выражение (2.58) для приводится к виду

Причем интегрирование производится только на той части поверхности тела , для которой перемещения заданы в явном виде.

Выражение (2.57) можно записать в следующем виде:

С учетом выражения (2.54) для изменение полной потенциальной энергии можно представить так:

где

Причем входящие в выражение (2.63) перемещения не произвольны, а подчинены условиям . Энергетический критерий устойчивости

где изменение полной потенциальной энергии подсчитывается по формуле (2.63), назовем энергетическим критерием в форме С. П. Тимошенко.

Те условия, которые были наложены на перемещения с целью исключения из выражения для начальных напряжений и деформаций, можно трактовать следующим образом.

Во-первых, величины , где . связаны с законом Гука, можно рассматривать как компоненты напряжений второго порядка малости, возникающих при переходе тела из начального невозмущенного состояния равновесия в новое возмущенное состояние, описываемое перемещениями (2.48).

Рис. 2.6.

Тогда величины , введенные с помощью формул (2.59), можно считать нагрузками второго порядка малости, возникающими на поверхности при переходе тела в новое состояние.

Во-вторых, уравнения (2.60) можно рассматривать как условия самоуравновешенности напряжений второго порядка малости. Условия (2.61) можно трактовать как граничные условия на тонг части поверхности тела для которой заданы мертвые внешние нагрузки . Поскольку при переходе в новое возмущенное состояние внешние нагрузки остаются неизменными, дополнительные поверхностные нагрузки второго порядка малости на части поверхности равны нулю. Дополнительные поверхностные нагрузки , агру, на части поверхности можно рассматривать как дополнительные реакции связей, возникающие при переходе тела в новое состояние.

Переход от энергетического критерия в форме Брайана к энергетическому критерию в форме С. П. Тимошенко можно рассматривать и как формальный переход от одного функционала к другому, осуществляемый с помощью преобразований типа Фридрихса [16]. Но изложенная трактовка энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко имеет следующие основания. Во-первых, для схематизированных механических систем типа абсолютно жестких стержней, соединенных упругими шарнирами, или стержней и колец с нерастяжимой осью такая трактовка наиболее естественна. Вернемся, например, к рассмотренной в гл. I простейшей системе с одной степенью свободы и исследуем ее устойчивость с помощью общего энергетического критерия. Если воспользоваться энергетическим критерием в форме С. П. Тимошенко, то в соответствии с (2.63) можно записать (рис. 2.6)

где .

При этом можно считать, что роль параметра , фигурирующего в (2.48), играет угол . Условие приводит к критическому значению силы .

Рис. 2.7.

Энергетический критерий устойчивости в форме Брайана, в котором изменение полной потенциальной энергии системы выражается через начальные напряжения или удлинения, применить к рассматриваемой системе нельзя: стержень считается абсолютно жестким и при нагружении энергия в нем не аккумулируется.

Для того чтобы при подсчете изменения полной потенциальной энергии воспользоваться зависимостями типа (2.45) или (2.46), необходимо ввести в рассматриваемую систему дополнительный упругий элемент, аккумулирующий энергию в докритическом состоянии равновесия. Роль такого элемента может играть пружина жесткости (рис. 2.7). Причем в соответствии с принятыми выше ограничениями жесткость пружины должна быть достаточно большой, чтобы можно было пренебречь изменением длины стержня в докритическом состоянии.

Рассматривая перемещения только первого порядка малости (рис. 2.7, а), соответствующие выражениям (2.23), для подсчета изменения полной потенциальной энергии можно воспользоваться зависимостью типа (2.45):

Окончательный результат конечно такой же, как при решении задачи с помощью энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко. При этом критическая сила не зависит от жесткости пружины с, как Эйлерова критическая сила для сжатого стержня не зависит от жесткости стержня на растяжение. Для сравнения на рис. 2.7, б показан стержень с пружиной жесткости , отклоненный в соответствии с записью энергетического критерия устойчивости в форме С. П. Тимошенко.

Аналогично в случае, когда рассматривается устойчивость шарнирно-опертого стержня, сжатого силой , и ось стержня считается нерастяжимой, энергетический критерий устойчивости записывают в форме С. П. Тимошенко (рис. 2.8, б):

где .

Рис. 2.8.

Для решения той же задачи с помощью энергетического критерия в форме Брайана, нужно отказаться от условия нерастяжимости оси стержня, определить начальное осевое внутреннее усилие в стержне и подсчитать изменение полной потенциальной энергии по зависимости типа (2.45):

где .

Вид изогнутого стержня, соответствующий записи энергетического критерия в форме Брайана, показан на рис. 2.8, а.

Энергетический метод определения критических нагрузок стержней подробнее рассмотрен в следующей главе. Здесь отметим, что взяв для шарнирно-опертого стержня функцию прогиба из критериев Брайана и С. П. Тимошенко получим точное значение критической силы .

Вторым доводом в пользу изложенной выше механической трактовки энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко служит то обстоятельство, что перемещения могут быть использованы для приближенного описания закритического поведения упругих систем.