Глава I. Основные понятия теории упругой устойчивости

Для выявления большинства характерных особенностей задач теории упругой устойчивости совершенно не обязательно рассматривать сложные механические системы. Это можно сделать, ограничившись исследованием простейших механических систем, допускающих элементарное аналитическое описание.

В первой, вводной главе, важнейшие понятия теории упругой устойчивости — точка бифуркации, критическая нагрузка, линеаризованное уравнение, граница области устойчивости и энергетический критерий устойчивости — введены и проиллюстрированы на примерах упругих систем с одной-двумя степенями свободы, подобно тому, как это обычно делается в теории механических колебаний. Кроме того, в первой главе рассмотрены ограничения и допущения, используемые обычно при формулировке и решении задач устойчивости тонкостенных элементов силовых конструкций.

§ 1. Неоднозначность состояний равновесия упругих систем

При одних и тех же внешних нагрузках и условиях закрепления упругая система может иметь не одно, а несколько состояний равновесия. Покажем это на самых простых примерах.

Рассмотрим жесткий стержень длиной , один конец которого закреплен в упругом шарнире, а другой — нагружен вертикальной силой . В исходном ненагруженном состоянии ось стержня строго вертикальна. При отклонениях стержня сила сохраняет вертикальное направление (рис. 1.1, а). Момент в упругом шарнире будем считать пропорциональным углу отклонения стержня и равным , где - жесткость упругого шарнира. Тогда, записав уравнение равновесия стержня в отклоненном от вертикали состоянии, получим

Рис. 1.1.

Полученное уравнение имеет два независимых решения:

Кривые, соответствующие этим решениям при , показаны на рис. 1.1, б, где по оси ординат отложены значения безразмерной силы . Как видим, при единственно возможным будет исходное вертикальное положение равновесия. При наряду с исходным вертикальным положением равновесия стержня становятся возможными и другие положения равновесия при Так, например, при возможны три различных положения равновесия стержня, соответствующие точкам и 3 на рис. . Точка 2 соответствует вертикальному положению, а точки 1 и 3 — отклоненным положениям равновесия. Если рассмотрим поворот стержня на произвольный угол , то увидим, что с ростом абсолютного значения безразмерной силы число возможных положений равновесия неограниченно возрастает.

Рассмотрим жесткий стержень длиной , один конец которого шарнирно закреплен, а на другом конце имеется пружина жесткости с, сохраняющая при отклонениях стержня горизонтальное положение (рис. 1.2, а). Как и в первом примере, к стержню приложена вертикальная сила , причем в исходном ненагруженном состоянии ось стержня строго вертикальна. Считая усилие в пружине пропорциональным ее удлинению и, следовательно, равным , запишем уравнение равновесия стержня в отклоненном положении:

Рис. 1.2.

Это уравнение имеет несколько независимых решений:

На рис. 1.2, б изображен график, соответствующий найденным решениям (по оси ординат отложены значения безразмерной силы . И в этом примере при одном и том же значении нагрузки система может иметь несколько различных положений равновесия. Так, при возможны четыре различных положения статического равновесия системы, соответствующие .

Очевидно, что другие корни уравнения (1.3) не дадут новых положений равновесия; например, будут соответствовать одному и тому же «опрокинутому» положению равновесия стержня и т. д.

Итак, даже на простых примерах можно показать, что при одной и той же внешней нагрузке и одних и тех же условиях закрепления упругая система может иметь несколько различных положений равновесия. Чрезвычайно важно подчеркнуть, что эта множественность положений равновесия может быть обнаружена только в том случае, когда уравнения равновесия составляются для деформированной, отклоненной от своего исходного ненагруженного положения системы. В линейной теории упругости уравнения равновесия составляют для недеформированной системы, т. е. используют «принцип неизменности начальных размеров» сопротивления материалов. В этом случае при заданных условиях закрепления и заданных внешних нагрузках всегда будет обнаружено только одно единственное положение статического равновесия упругой системы. Так, в рассмотренных примерах, составляя уравнения равновесия для недеформированной системы, не обнаружим других положений равновесия стержня, кроме исходного вертикального положения.

Рис. 1.3.

Рис. 1.4.

Для более сложных упругих систем число различных возможных положений равновесия, естественно, возрастает, а вид возможных равновесных конфигураций усложняется. Так, например, на рис. 1.3 и 1.4 показаны различные формы равновесия гибкого стержня (они, конечно, становятся возможными только при достаточно больших нагрузках).

В задачу теории упругой устойчивости входит определение условий, при которых становятся возможными различные состояния равновесия системы, установление форм равновесных конфигураций и выяснение того, какие из этих конфигураций соответствуют устойчивым состояниям равновесия, а какие нет.