§ 23. Приближенные решения основного линеаризованного уравнения

Задачи устойчивости пластин решают с помощью тех же приближенных методов, что и задачи поперечного изгиба пластин [11, 17]. Одним из наиболее эффективных методов является метод Галеркина. Выше этот метод использовали при решении одномерных задач устойчивости стержней (см. § 12 и 13). Общая его схема сохраняется и при решении однородных уравнений в частных производных.

Пусть имеется однородное линейное уравнение

где

Причем — параметр нагрузки, пропорционально которому увеличиваются все внешние усилия, действующие на пластину; — распределение начальных внутренних усилий в срединной плоскости пластины при . Граничные условия для заданные на контуре пластины, тоже однородны.

Напомним, что до решения задачи устойчивости пластины необходимо определить начальное напряженное состояние пластины, т. е. найти усилия . При сложных контурных нагрузках и граничных условиях для пластин сложной формы, многосвязных пластин и в некоторых других случаях эта задача обычно может быть решена только с помощью приближенного метода.

При решении задачи методом Галеркина функцию поперечного прогиба задают в виде ряда

где — варьируемые параметры; — базисные функции, каждая из которых удовлетворяет всем заданным граничным условиям, Подстановка этого ряда в исходное уравнение (4.57) дает некоторую функцию-ошибку, тождественно не равную нулю:

В силу линейности и однородности исходного уравнения функция-ошибка L будет линейной и однородной относительно варьируемых параметров . Для минимизации функции-ошибки требуют, чтобы она была ортогональна всем базисным функциям , т. е. выполнялись условия

где интегрирование производится по всей площади пластины.

Полученная система N уравнений линейна и однородна относительно варьируемых параметров . Для существования нетривиальных решений этой системы ее определитель должен быть равен нулю. Равенство нулю определителя однородной системы уравнений приводит к характеристическому уравнению, которое относительно параметра нагрузки имеет степень; N корней этого характеристического уравнения дают приближенно N первых собственных значений . Для каждого из этих значений из системы (4.59) все варьируемые параметры можно выразить через какой-нибудь один (например, ) и, используя выражение (4.58), приближенно получить N первых собственных функций

Если и система базисных функций полная, то будет получено точное решение, т. е. точно будут найдены все собственные значения и все собственные функции задачи. Но обычно ограничиваются несколькими первыми членами ряда (4.58), поэтому вопрос о полноте системы базисных функций в данном случае представляет теоретический, а не практический интерес.

Намеченную схему решения проиллюстрируем несколькими примерами.

Рис. 4.15.

Прямоугольная пластина, защемленная по всему контуру, равномерна сжата в двух направлениях (рис 4.15, а). Граничные условия задачи

Если на перемещения пластины в ее плоскости не наложено дополнительных связей, то и уравнение (4.57) принимает вид

Выбор аппроксимирующих функций наиболее ответственный этап приближенного решения. Аппроксимирующие функции, с одной стороны, должны удовлетворять граничным условиям и физическому смыслу задачи, с другой стороны, должны быть удобными для математической обработки. В данной задаче, если считать форму пластины, близкой к квадратной, то учитывая результаты решенной в § 21 задачи устойчивости свободно опертой пластины, можно ожидать, что потеря устойчивости защемленной пластины будет происходить с образованием одной выпучины (рис. 4.15, б). Тригонометрические функции удобны для операций дифференцирования и интегрирования, поэтому, ограничившись первым членом ряда (4.58), можно принять

где

Подставив это выражение в уравнение (4.60), найдем функцию-ошибку

Умножив функцию-ошибку , на единственную базисную функцию и проинтегрировав по всей площади пластины, получим уравнение

Для существования отличных от тождественного нуля решений выражение, стоящее в фигурных скобках, должно обращаться в нуль. Это условие приводит к уравнению, дающему приближенные значения критических соотношений внешних усилий:

В частности, для квадратной пластины, сжатой в одном направлении, т. е. при

где уточненное решение для квадратной пластины дает . В этом случае для квадратной пластины даже при сохранении в решении только одного члена ряда (4.58) метод Галеркина приводит к удовлетворительному результату.

При этом необходимо помнить следующее. Ограничившись в решении одним членом ряда, предполагаем одну вполне определенную форму потери устойчивости пластины.

Для квадратной пластины эта форма близка к действительной, поэтому найденное выше приближенное собственное значение достаточно близко к наименьшему (критическому) точному собственному значению задачи. С изменением параметров упругой системы может происходить резкая качественная смена форм потери устойчивости. Выбранная для приближенного решения функция (4.61) не может отразить такую качественную смену форм потери устойчивости. Поэтому формула (4.62), соответствующая форме потери устойчивости с образованием одной выпучины, при увеличении отношения может приводить к сколь угодно большим погрешностям. Для сравнения на рис. 4.16 приведены зависимости коэффициента Для сжатой в одном направлении защемленной пластины, построенные по выражению (4.62) и результатам уточненного (но приближенного) решения [19]. Из уточненного решения следует, что при пластина теряет устойчивость с образованием не одной выпучины, а двух, при — трех выпучин и т. д. Поэтому при точность приведенного приближенного решения резко ухудшается.

Рис. 4.16.

Рис. 4.17.

Если приближенное решение нужно получить для широкого диапазона изменения параметров пластины, то при выборе аппроксирующих функций необходимо предусмотреть возможность качественной смены форм потери устойчивости. Например, в рассматриваемой задаче при можно принять

где — собственные функции задачи устойчивости защемленного по обоим торцам стержня, сжатого одной силой Р (см. гл. 3).

Свободно опертая по контуру неравномерно сжатая в одном направлении прямоугольная пластина (рис. 4.17, а). При линейно изменяющихся внешних сжимающих усилиях , где — заданный фиксированный параметр.

При жтом .

(Заметим, что при другом нелинейном законе изменения ) определение начальных внутренних усилий в срединной плоскости пластины резко усложняется.) Основное уравнение (4.57) принимает вид

Граничные условия задачи:

В уравнение (4.63) коэффициенты не зависят от , поэтому можно найти решение, удовлетворяющее граничным условиям при :

где — функция координаты у. Подставив это выражение в уравнение (4.63) и сократив на , получим

где штрихом обозначено дифференцирование по у.

Учитывая граничные условия при и , при решении методом Галеркина можно задать

Подставив ряд (4.65) в уравнение (4.64), получим функцию-ошибку

или

Умножив функцию-ошибку L поочередно на все базисные функции , проинтегрируем от 0 до

Так, ограничившись только одним членом ряда (4.65), получим одно уравнение

из которого в первом приближении находим

Причем входящее в эту формулу число полуволн в продольном направлении следует подбирать из условия минимума , как это сделано выше для прямоугольной пластины, равномерно сжатой в одном направлении.

При результат первого приближения совпадает с полученным в § 21 результатом точного решения для равномерно сжатой Цпластины. При малых значениях формула первого приближения (4.67) дает удовлетворительные результаты, но с увеличением значений ее точность резко ухудшается; так, при формула (4.67) приводит к абсурдному результату .

Для получения более точного решения можно учитывать два первых члена ряда (4.65); тогда система (4.66) будет состоять из двух уравнений:

Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, получаем квадратное уравнение для нахождения во втором приближении:

Входящее в это уравнение число полуволн в продольном направлении для каждого значения и отношения следует подбирать из условия минимума .

Отметим, что при часть пластины оказывается сжатой, а часть — растянутой. В соответствии с этим при корни уравнения (4.68) могут иметь разные знаки. Учитывая большое число членов ряда (4.65), можно получать решение в следующих приближениях.

Окончательный результат представляют в виде

где — коэффициент, зависящий от отношения сторон и параметра . Значения табулированы для всех практически интересных случаев [19, 33].

Прямоугольная пластина при сдвигающих нагрузках (рис. 4.17, б). В этом случае и уравнение (4.57) принимает вид

Уравнение (4.69) содержит смешанную производную , поэтому даже для свободно опертой по всему контуру пластины с конечным отношением сторон точное решение получить не удается. Решение уравнения (4.69) в замкнутом виде известно только для удлиненной пластины при Окончательный результат этого решения обычно записывают в такой форме:

Причем при свободно опертых длинных краях пластины а при защемленных длинных краях .

Рассмотрим приближенное решение для пластины с конечным отношением сторон; контур пластины считаем свободно опертым. Воспользуемся методом Галеркина; функцию поперечного прогиба примем в виде двойного ряда

Каждый член этого ряда, очевидно, удовлетворяет всем заданным граничным условиям задачи.

Для прямоугольной пластины с конечным отношением сторон дальнейшее решение, несмотря на принципиальную простоту, оказывается весьма громоздким, ибо точные результаты удается получить только при учете большого числа членов ряда (4.71). Ограничимся решением в первом приближении для пластины, близкой к квадратной, т. е. при . Заметим, что даже в первом приближении необходимо учитывать два члена ряда (4.71), так как взяв один член ряда, получим условие ортогональности (4.59), не содержащее внешней нагрузки д. Итак, возьмем

Подставив эту функцию в уравнение (4.69), найдем функцию-ошибку

Условия ортогональности (4.59) приводят к двум уравнениям:

Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений, находим

или для квадратной пластины при

где .

При этом значении q из уравнений (4.72) находим Следовательно, форма изогнутой срединной поверхности пластины при потере устойчивости приближенно описывается функцией

Знаки , входящие в полученные выше зависимости, отражают тот очевидный факт, что изменение направления внешней контурной нагрузки не влияет на ее критическое значение. Уточненное значение коэффициента в формуле (4.73) для квадратной пластины равно [19].

Учтя большее число членов ряда (4.71) и выполнив трудоемкие вычисления, можной найти значения коэффициента в формуле (4.73) и при других значениях отношения . Аналогичные решения получены при иных закреплениях краев пластины, причем результаты этих решений табулированы [19, 33].

Методом Галеркина могут быть решены (и решены) многие другие задачи устойчивости прямоугольных и круглых пластин. Но при всех достоинствах этот метод нельзя считать универсальным методом решения задач устойчивости пластин. Основной недостаток метода Галеркина связан с необходимостью удовлетворения всех граничных условий при выборе базисных функций. Геометрические граничные условия можно выполнить сравнительно легко, но даже для пластин простой формы трудно выбрать базисные функции, удобные для математической обработки и удовлетворяющих всем силовым граничным условиям. Например, в задачах устойчивости прямоугольных пластин с одним свободным краем чрезвычайно трудно подобрать удобную систему базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям на свободном краю. Это замечание относится и к пластинам с упруго закрепленным краем или пластинам с отверстиями. Во всех такого рода задачах приближенное решение удобнее получать энергетическим методом.