§ 37. Устойчивость ортотропной оболочки при внешнем давлении

В предыдущей главе рассмотрено влияние условий закреплений торцов цилиндрической оболочки на критические нагрузки. Как подчеркивалось, даже при осесимметричном начальном напряженном состоянии интегрирование общих уравнений устойчивости оболочек при произвольных граничных условиях требует машинного счета.

Использование уравнений полубезмоментной теории для основных вариантов граничных условий позволяет получить элементарное аналитическое решение, полностью объясняющее качественные особенности зависимости критического давления цилиндрической оболочки от граничных условий и дающее достаточно надежные количественные результаты для изотропной и ортотропной оболочек в широком диапазоне изменения их параметров [4].

При уравнение (7.14) запишем в следующем виде:

где

Однородные граничные условия при :

Здесь и далее штрихом обозначено дифференцирование по .

Обратим внимание на то, что уравнение (7.22) и граничные условия (7.23) полностью совпадают с хорошо изученным уравнением и граничными условиями свободно колеблющейся однородной балки. Решение уравнения (7.22) при :

Четыре однородных граничных условия (по два на каждом из торцов оболочки) составляют систему четырех однородных линейных уравнений относительно постоянных . Условие обращения в нуль определителя этой алгебраической системы уравнений приводит к характеристическому уравнению, наименьший корень которого позволяет определить собственные значения давления

В данном случае не зависит от числа волн в окружном направлении . (Собственные значения, соответствующие остальным корням характеристического уравнения для определения критического значения давления, интереса не представляют). Подбирая число волн из условия минимума , приходим к критическому значению давления (см. § 33). При достаточно большом числе волн в окружном направлении, когда можно принять выражение для существенно упрощается (практически это можно сделать при . Рассматривая величину как непрерывно меняющийся параметр, из условия минимума находим

Рассмотрим несколько вариантов граничных условий, заданных на торцах цилиндрической оболочки.

1. На обоих торцах оболочки заданы граничные условия

(7.28)

В соответствии с зависимостями (7.15) это означает, что на обоих торцах запрещены окружные перемещения и разрешены осевые перемещения . В силу нерастяжимости полубезмоментной оболочки в окружном направлении (7.3) равенство нулю окружных перемещений влечет за собой равенство нулю нормальных перемещений .

В рассматриваемом случае первой собственной функцией уравнения (7.22) будет (аналог рассматриваемой задачи — свободно колеблющаяся однородная балка с шарнирно-опертыми концами)

Наименьшее собственное значение приводит к выражению, позволяющему после минимизации по числу волн подсчитать критическое давление

В частности, используя формулы (7.26) и (7.27) для оболочек средней длины, находим

и

Если положить

то формула (7.30) совпадет с формулой П. Ф. Папковича для изотропной оболочки средней длины.

2. На обоих торцах оболочки задано

Таким образом, при запрещены окружные (следовательно, нормальные) и осевые перемещения оболочки. Аналог этой задачи — свободные колебания однородной балки с обоими защемленными концами. Первая собственная функция , и соответствующее наименьшее собственное значение будут:

При достаточно большом числе волн из (7.27) получим

где определяется по формуле (7.30). Иначе говоря, при рассматриваемых граничных условиях критическое давление оболочки средней длины в полтора раза больше, чем при граничных условиях (7.28).

3. Несимметричные граничные условия:

На одном краю оболочки при запрещены окружные (и нормальные) и осевые перемещения; второй край полностью свободен, т. е. при . Аналог этой задачи — свободные колебания однородной консольно-защемленной балки. Первая собственная функция и наименьшее собственное значение определяются зависимостями

Из формулы (7.27) получим (при

Аналогично можно найти собственные функции и критические давления при других граничных условиях на торцах оболочки.

Изложенная схема решения позволяет сравнительно просто исследовать влияние упругого закрепления краев оболочки на критические нагрузки. Общее уравнение (7.22) и его решение (7.24) остаются справедливыми и в этом случае, а жесткость упругого закрепления края оболочки входит в граничные условия. Рассмотрим случай, когда край оболочки упруго закреплен относительно осевых перемещений , причем — жесткость упругого закрепления. Тогда на краю оболочки можно задать:

Соответственно вместо граничных условий (7.23) получим:

Рис. 7.1

Рис. 7.2

Приведем примеры использования граничных условий упругого закрепления края оболочки.

Один край оболочки закреплен жестко относительно окружных (и нормальных) перемещений и упруго относительно осевых, другой — жестко относительно всех перемещений. В этом случае наименьшее собственное значение , где — коэффициент, зависящий (при ) от относительной жесткости упругого закрепления — (рис. 7.1). При известном значении критическое давление подсчитывают по формуле (7.25) либо (7.27).

Это означает, что один край оболочки закреплен жестко относительно окружного (и нормального) перемещения и упруго относительно осевого, другой край — полностью свободен. В этом случае несложные выкладки приводят к характеристическому уравнению

Зависимость наименьшего корня этого уравнения от относительной жесткости упругого закрепления края оболочки приведена на рис. 7.2, причем первое собственное значение .

Как показано на графике, в области малых значений относительно жесткости упругого основания происходит чрезвычайно резкое изменение значений коэффициента (следовательно, и первого собственного значения ). В этой области при правую часть характеристического уравнения (7.33) удобнее разложить в ряд по степеням . Тогда, оставляя члены, содержащие в низших степенях получаем

Из выражения (7.25) приходим к зависимости

где число волн следует подбирать из условия минимума . В частности, при получим , и из последней зависимости следует, что

Таким образом, полубезмоментная оболочка с одним свободно опертым краем, а другим полностью свободным теряет устойчивость так же, как длинная оболочка или оболочка с обоими свободными краями, т. е. без растяжения срединной поверхности (см. § 33).

Сравним степень влияния жесткости упругого закрепления края оболочки на критическое давление в двух последних примерах. В первом из них относительная жесткость порядка практически не влияет на критическое давление. Во втором примере влияние относительной жесткости порядка оказывается существенным. Причем в первом примере с увеличением относительной жесткости с от нуля до критическое давление повышается примерно на 25%. При дальнейшем увеличении относительной жесткости критическое давление практически не изменяется. В этом случае край оболочки можно считать закрепленным неподвижно. Во втором примере увеличение относительной жесткости упругого закрепления может привести к повышению критического давления в десятки раз. Такая качественная разница объясняется следующим. В первом из этих примеров при оболочка с обоими краями, закрепленными относительно нормальных перемещений, не может деформироваться без растяжения срединной поверхности. Поэтому упругое закрепление края оболочки приводит к некоторому повышению критического давления, не меняя качественно характера деформирования оболочки при потере устойчивости.

Во втором примере при оболочка допускает чисто изгибные деформации без растяжений срединной поверхности; критическое давление зависит только от изгибной жесткости оболочки и определяется формулой (7.34). При упругом закреплении края оболочки невозможна чисто изгибная деформация. Этим объясняется тот факт, что даже при сравнительно небольшой относительной жесткости с качественно изменяется характер деформиро вания при. потере устойчивости оболочки со свободным краем.

В заключение отметим, что в последнем примере для относительно коротких оболочек при применение схемы полубезмоментной оболочки необоснованно. В этом случае при потеря устойчивости происходит по форме, описываемой следующими функциями перемещений (с точностью до масштаба

Для изотропной оболочки скручивающий момент оказывается того же порядка, что и окружной изгибающий момент . Критическое значение внешнего давления не трудно найти если отказаться от схемы полубезмоментной оболочки и воспользоваться общими зависимостями, приведенными в § 32. Подсчитав изменение полной потенциальной энергии оболочки , из условия можно получить окончательную формулу

Откуда при следует, что

Как и следовало ожидать, для длинных оболочек эта формула совпадает с формулой (7.34).