§ 6. Устойчивость упругих систем при комбинированном нагружении

На упругую систему могут одновременно действовать несколько независимо изменяющихся нагрузок. Некоторые особенности исследования устойчивости при таком комбинированном нагружении продемонстрируем на . стых примерах.

Начнем с системы с одной степенью свободы. Рассмотрим закрепленный в упругом шарнире жесткий стержень, на который , одновременно действуют . Когда на стержень действует одна сила то ее критическое значение равно аналогично .

Рис. 1.19.

При одновременном действии сил и условие равновесия отклоненного стержня приводит к линеаризованному уравнению

Из условия существования отличных от нуля решений этого однородного уравнения находим границу области устойчивости

Действительно, повторив рассуждения, приведенные в § 2, и проделав несложные выкладки, нетрудно установить, что при исходное вертикальное положение стержня устойчиво, а при положение неустойчиво. В координатах граница области устойчивости (рис. 1.19, б) является прямой линией, пересекающей оси в точках, соответствующих критическим значениям Заметим, что в данном случае уравнение границы области устойчивости можно записать в виде

Если на систему с одной степенью свободы одновременно действуют N сил , то граница области устойчивости, очевидно, описывается уравнением

где — критическое значение силы , [действующей отдельно.

Рассмотрим упругую систему с двумя степенями свободы, нагруженную одновременно силами (рис. 1.20, а). Условия равновесия стержней в положении, отклоненном от исходного, приводят к системе двух линеаризованных уравнений

Приравняв нулю определитель этой однородной системы уравнений, получим уравнение

Положив в этом уравнении поочередно , можно найти критические значения сил, действующих отдельно:

Рис. 1.20.

На рис. 1.20, б в координатах изображена гипербола, описываемая уравнением (1.35). Ближайшая к началу координат ветвь гиперболы, показанная сплошной линией, является границей области устойчивости в данной задаче. Следуя намеченному в предыдущем параграфе пути, можно доказать, что все точки плоскости, лежащие слева от этой ветви, соответствуют устойчивому вертикальному положению стержневой системы, а точки, лежащие справа, — неустойчивому вертикальному положению. В данной задаче (как и в предыдущей) граница принадлежит области устойчивости.

При нагружении силы могут возрастать пропорционально одному параметру. В координатах такое нагружение описывается лучом, исходящим из начала координат. Так, например, на рис. 1.20, б изображен луч, соответствующий . Точка пересечения луча с границей области устойчивости А соответствует критической точке бифуркации исходного положения равновесия.

В рассмотренных выше примерах граница области устойчивости незамкнутая кривая и поэтому часть лучей, исходящих из начала координат, ее пересекает, а часть лучей не пересекает. В этих случаях возможны такие соотношения между силами , при которых потери устойчивости не произойдет. Но бывают случаи нагружения упругой системы, когда граница области устойчивости является замкнутой кривой.

На рис. 1.21. а изображен упругий стержень с неподвижно закрепленными шарнирными торцами.

Рис. 1.21.

При нагружении такого стержня силами в правой опоре возникает продольная реакция . Поэтому задача определения критических значений нагрузок стержня эквивалентна задаче устойчивости стержня, изображенного на рис. 1.21, б.

Решение задач устойчивости такого типа рассмотрено в гл. 3.

Для получения качественной картины заменим упругий стержень дискретной системой, состоящей из трех жестких звеньев, соединенных упругими шарнирами (рис. 1.22, а). Для решения этой задачи воспользуемся энергетическим методом, изложенным в предыдущем параграфе. Обозначив поперечные перемещения шарниров , определим изменение полной потенциальной энергии системы при отклонениях от горизонтального положения:

где k — жесткость упругих шарниров.

Условие стационарности приводит к двум однородным линейным уравнениям:

Приравняв нулю определитель полученной системы уравнений, найдем уравнение границы области устойчивости в координатах :

Положив в этом уравнении , получим уравнение для определения критических значений отдельно действующей силы :

Рис. 1.22.

Вычислим два критических значения . В силу симметрии задачи для силы можно найти два критических значения .

На рис. 1.22, б в координатах изображена граница области устойчивости. В данном случае область устойчивости ограничена замкнутой кривой (для дискретной модели стержня это эллипс). Вернувшись к исходной задаче устойчивости упругого стержня (см. рис. 1.21, а), нетрудно установить физический смысл замкнутости найденной границы области устойчивости: потерю устойчивости могут вызывать внешние силы , действующие как вправо, так и влево.

Этот подход к определению границ областей устойчивости применим для более сложных упругих систем, в том числе для систем с распределенными параметрами. В общем случае граница области устойчивости может состоять из набора прямо- и криволинейных участков, часть из которых принадлежит области устойчивости, а часть — области неустойчивости.

Общие свойства границ областей устойчивости детально исследованы П. Ф. Папковичем [31]. В частности, им доказана важная теорема о выпуклости границы области устойчивости. Согласно этой теореме граница области устойчивости не может быть обращена выпуклостью к области устойчивости. Так, для случая действия на систему двух независимых нагрузок граница области устойчивости может состоять из криволинейных участков, обращенных выпуклостью к области неустойчивости, и отрезков прямых.

Теоремой о выпуклости области устойчивости часто пользуются для приближенного построения границы области устойчивости. Если известны только отдельные точки этой границы, то соединяя их отрезками прямых, можно получить надежную аппроксимацию истинной границы. (Когда на упругую систему одновременно действуют более двух независимых нагрузок, то аналогичные построения проводят в соответствующем многомерном пространстве).

Но необходимо подчеркнуть, что теорема о выпуклости области устойчивости (как и остальные теоремы П. Ф. Папковичао границах областей устойчивости) доказывается только для линейной задачи устойчивости. Эта теорема верна, если докритическое напряженно-деформированное состояние упругой системы определено по линейной теории и при расчете на устойчивость докритические перемещения системы не учитываются. В противном случае граница области устойчивости может иметь участки, обращенные выпуклостью в сторону области устойчивости [23]. Более того, в общем случае, когда для описания докритического состояния упругой системы необходимо использовать нелинейную теорию, области устойчивости могут иметь самые причудливые очертания.