Глава 4. Устойчивость пластин

В главе дана постановка задачи устойчивости тонкой упругой пластины, приведен подробный вывод основного линеаризованного уравнения теории устойчивости пластин и пояснены некоторые варианты однородных граничных условий этого уравнения. Рассмотрены точные аналитические решения основного уравнения для прямоугольных и круглых пластин и приближенное интегрирование этого уравнения методом Галеркина. Эти классические решения задач устойчивости пластин получены в конце XIX — начале XX в., однако они не утратили практического значения. Их результаты широко используются в инженерных расчетах и служат эталоном для отработки и апробирования всех современных приближенных методов расчета пластин на устойчивость.

§ 19. Постановка задачи; исходные зависимости

Представим пластину в прямоугольной системе координат так, чтобы ее срединная плоскость совпадала с координатной плоскостью (рис. 4.1, а). Примем, что толщина пластины h существенно меньше других размеров пластины в плоскости . Поперечные перемещения точек срединной плоскости пластины обозначим w, перемещения по направлениям осей — соответственно . Пластина нагружена в своей плоскости поверхностными и контурными усилиями , поперечные нагрузки отсутствуют (рис. 4.1, б).

Задачу устойчивости такой пластины рассмотрим при следующих допущениях.

1. До нагружения пластина идеально плоская и в докритическом состоянии равнодействующие всех внешних нагрузок и реакций опор действуют строго в срединной плоскости пластины.

2. Докритическое напряженное состояние описывается соотношениями линейной теории упругости и изменением размеров пластины до потери устойчивости пренебрегаем.

3. Все действующие на пластину внешние нагрузки мертвые, т. е. они не изменяются ни по величине, ни по направлению при деформациях пластины.

Рис. 4.1.

4. Изгиб пластины описывается с помощью обычных гипотез линейной теории изгиба тонких жестких пластин, т. е. гипотезы о неискривляемости нормали и гипотезы о малости нормальных напряжений в плоскостях, параллельных срединной плоскости.

В силу первого допущения всегда возможно плоское состояние равновесия пластины, при котором . Это неискривленное плоское состояние равновесия будем считать начальным и все относящиеся к нему величины обозначать индексом «0», например, и т. д.

Согласно второму допущению в начальном состоянии удлинения и углы сдвига в срединной плоскости связаны с производными перемещений линейными зависимостями (рис. 4.2, а)

Рис. 4.2.

Уравнения равновесия элемента пластины в начальном неискривленном состоянии имеют вид (рис. 4.2, б)

Входящие в эти уравнения начальные внутренние усилия в срединной плоскости и удлинения и углы сдвига связаны зависимостями закона Гука

или

где и — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пластины.

При заданных граничных условиях на контуре пластины по приведенным зависимостям можно определить напряжения и деформации в начальном неискривлеином состоянии. На части контура, на которой действуют внешние нагрузки, граничные условия имеют вид (рис. 4.1, б)

На другой части контура могут быть заданы геометрические граничные условия

В общем случае, когда точки коитура пластины упруго закреплены относительно смещений в ее плоскости, граничные условия формулируются так же, как для упругозакрепленного в продольном направлении торца стержня (см. § 14).

Если внешние нагрузки не зависят координат, то можно ввести функцию начальных усилий с помощью соотношений

Тогда определение исходного напряженно-деформированного состояния пластины сведется к решению бигармонического уравнения

где

Следует отметить, что при сложных очертаниях контура пластины и при сложных нагрузках (например, при сосредоточенных контурных нагрузках) определение начального напряженного состояния пластины представляет трудную задачу. Но предположим, что она решена (точно или приближенно) и распределение внутренних усилий в пластине при начальном неискривленном состоянии равновесия известно.

Заметим, что задачу устойчивости пластин в рассматриваемой постановке, когда начальное напряженно-деформированное состояние описывается уравнениями линейной теории упругости, можно решать, не определяя этого состояния (см. § 10).

В дальнейшем примем, что все внешние нагрузки изменяются пропорционально параметру . Поскольку докритическое напряженно-деформированное состояние описывается линейными уравнениями, можно записать

где - функции, соответствующие распределению внутренних начальных усилий при .

При достаточно малых значениях параметра нагрузки Р начальное неискривленное состояние равновесия пластины будет единственным и устойчивым. С ростом значений параметра Р у пластины, как и у прямого стержня (см. гл. 3), могут появляться изгибные состояния равновесия, смежные с начальным неискривленным состоянием. Те значения параметра нагрузки , при которых наряду с начальным неискривленным состоянием существуют новые изгибные состояния равновесия пластины, определяют точки бифуркации начального состояния равновесия. Наименьшее из значений параметра будет критическим, т. е. при его превышении начальное неискривленное состояние перестает быть устойчивым (см. § 5).

Для определения точек бифуркации начального неискривленного состояния пластины следует рассмотреть искривленное изгибное состояние равновесия пластины, бесконечно близкое к исходному. Такое изгибное состояние равновесия пластины будем описывать функцией поперечного прогиба точек ее срединной поверхности

где — бевконечно малый параметр, не зависящий от координат; — некоторая конечная функция координат.

При изгибе пластины нормаль к ее срединной плоскости поворачивается в плоскостях, параллельных координатным плоскостям , соответственно на углы эти углы с точностью до величин высшего порядка малости относительно параметра а связаны с поперечным прогибом соотношениями (см. § 8)

Изменения углов вдоль координатных линий х и у определяют кривизны деформированной срединной плоскости в сечениях, параллельных координатным плоскостям

Изменение угла вдоль координаты у (равное, очевидно, изменению угла , вдоль координаты ) дает значение крутки деформированной срединной плоскости

Гауссова кривизна поверхности равна , где , и — главные радиусы кривизны поверхности в рассматриваемой точке. С точностью до величины высшего порядка малости относительно параметра а гауссова кривизна деформированной срединной плоскости определяется выражением [19)

(4-13)

Напомним, что при чисто изгибных деформациях поверхности гауссова кривизна остается неизменной; в частности, при чисто изгибных деформациях срединной плоскости пластины ее гауссова кривизна остается тождественно равной нулю.

При изгибе пластины в ней возникают внутренние изгибающие моменты , скручивающий момент и внутренние поперечные силы (рис. 4.3). В соответствии с четвертым допущением внутренние моменты выражаются через поперечный прогиб с помощью формул [12]:

Рис. 4.3.

Здесь использовано обозначение цилиндрической жесткости

В линейной теории поперечного изгиба пластин уравнения равновесия формулируются для недеформированного состояния. Условия равновесия элемента пластины в недеформированном состоянии — уравнения моментов относительно его граней — приводят к двум зависимостям

Если на пластину действует нормальная распределенная нагрузка то независимо от усилий в срединной плоскости пластины условие равновесия элемента пластины — проекция на ось z всех приложенных к элементу пластины сил — приводит к уравнению

Используя зависимость (4.16), получаем основное уравнение линейной теории поперечного изгиба пластин. Для пластины постоянной толщины это уравнение имеет вид

Не останавливаясь на формулировке граничных условий для этого уравнения, отметим, что силовые граничные условия вытекают из уравнений равновесия прилегающего к контуру бесконечного малого элемента пластины, причем уравнения равновесия записываются для недеформированного состояния [12].

Приведенные выше зависимости относятся к линейной теории изгиба пластин. Как показано в следующем параграфе, используя эти зависимости, можно получить линеаризованное уравнение, дающее возможность найти точки бифуркации начального неискривленного состояния равновесия пластины и определить изгибные формы равновесия пластины в окрестностях точек бифуркации. Но этих зависимостей недостаточно для того, чтобы исследовать поведение пластины в закритической области при конечных поперечных прогибах. Недостаточно их и для исследования устойчивости пластин энергетическим методом. Для этих целей кроме приведенных линейных зависимостей необходимо использовать геометрически нелинейные соотношения теории гибких пластин. Выведем эти соотношения.

На рис. 4.4 изображено положение элемента срединной плоскости пластины до и после деформации (точки CADB переходят в положение ); перемещения в плоскости пластины пока не учитываем, ограничиваясь рассмотрением деформаций срединной плоскости, непосредственно связанных с поперечным прогибом .

Векторы обозначим соответственно и , их проекции на оси координат равны

Модули этих векторов

Рис. 4.4.

По определению относительные удлинения в направлениях осей х и у равны

Ограничившись квадратичными членами разложения, получим значения удлинений, связанных с поперечным прогибом:

Определим углы сдвига срединной плоскости, связанные с прогибом w. Прямой угол между отрезками СА и СВ при изгибе пластины искажается; его новое значение, равное углу между отрезками и , обозначим , где — угол сдвига, связанный с поперечным прогибом . Скалярное произведение векторов а и b равно произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними:

Скалярное произведение можно подсчитать по формуле

Сравнивая выражения (4.22) и (4.21) и ограничиваясь квадратичными членами, получаем

Итак, видим, что связанные с поперечным прогибом удлинения и сдвиги срединной плоскости пластины имеют второй порядок малости, поэтому в линейных задачах изгиба пластин ими пренебрегают.

Если кроме поперечных прогибов w учесть перемещения и, v в плоскости пластины, то деформации срединной плоскости, вызываемые этими перемещениями, можно подсчитать по линейным зависимостям (4.1), поскольку при изгибе тонких пластин можно .

Окончательно получим

Остановимся на условии нерастяжимости срединной плоскости пластины. Это условие, естественное и законное для линейных задач изгиба пластин, иногда используют в нелинейных задачах, например при выводе энергетического условия устойчивости пластин . Перемещения часто выражают через поперечный прогиб из условия равенства нулю значений , определяемых формулами (4.24), т. е. из условия

Однако для определения двух функций условие (4.25) дает систему трех уравнений. Поэтому перемещения и и и из этой системы можно определять только при выполнении некоторого дополнительного условия, которое можно получить, исключая из системы (4.25). Дифференцируя 2 раза первое уравнение системы (4.25) по у, второе — 2 раза по х и третье — по х и у, а затем вычитая два первых результата из последнего, получаем

Отсюда следует, что для определения перемещений условием нерастяжимости можно пользоваться только в том случае, когда гауссова кривизна деформированной срединной плоскости пластины остается тождественно равной нулю, т. е. когда пластина изгибается по так называемой развертывающейся поверхности. Например, чисто изгибные деформации, при которых , возможны для пластины со свободным контуром (лист бумаги можно свернуть в конус). Но еще раз подчеркнем, что в общем случае деформирования пластины условием нерастяжимости срединной плоскости для определения перемещений пользоваться нельзя.