Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6. СИЛОВОЕ ПОЛЕ. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ126. Векторное поле. Силовое поле.Предположим, что в каждой точке пространства или некоторой части пространства приложен некоторый вектор, определяемый координатами
Эти формулы определяют то, что называется векторным полем. Если векторы, приложенные в каждой точке поля, представляют собой силы, то предыдущие формулы определяют силовое поле. Если материальная точка перемещается в пространстве и в каждой точке пространства находится под действием силы, определяемой данным силовым полем, то говорят, что точка движется в этом силовом поле. В этом случае говорят также, что точка находится под действием силы, зависящей от положения, или позиционной силы. Например, действие Солнца на планету данной массы вполне определяется в каждой точке пространства законом всемирного тяготения: оно зависит лишь от положения планеты. Притяжение Солнца, действующее на планету (в предположении, что планета может занимать любое положение в пространстве), определяет, таким образом, силовое поле, распространенное на все пространство. Когда планета, находясь под действием притяжения Солнца, движется в пространстве, она перемещается, таким образом, в этом силовом поле. 127. Силовая функция. Потенциал.Предположим, что существует силовое поле, т. е. что проекции X, Y и Z силы F представляют собой функции от координат х, у, z точки приложения этой силы; точка приложения рассматривается при этом как произвольная точка пространства. Весьма важным оказывается тот случай, когда проекции X, Y, Z соответственно равны частным производным по
Когда выполнены эти условия, функция Когда существует силовая функция, то выражение для элементарной работы силы представляет собой полный дифференциал этой функции. В самом деле, имеем:
Обратно, если элементарная работа выражается полным дифференциалом функции В самом деле, dx, dy и dz суть так же, как переменные Таким образом, необходимое и достаточное условие для существования силовой функции заключается а том, что выражение для элементарной работы должно быть полным дифференциалом некоторой функции от х, у, z. Силовая функция определяется силой лишь с точностью до постоянной, так как дифференциал силовой функции и ее производные не изменяются от прибавления к ней произвольной постоянной. При этом в каждом случае эту постоянную можно выбирать так, как это представляется наиболее удобным. Мы будем предполагать во всем дальнейшем, что силовая функция Теорема. — Пусть точка находится под действием нескольких сил В самом деле, если имеем
то отсюда следует
что и доказывает теорему. 128. Основная теорема.Если сила F обладает однозначной силовой функцией Рассмотрим параметрическое представление дуги параметр t (который не обязательно должен быть временем) изменяется от
где индексы 0 и 1 относятся к начальному и конечному положениям 129. Поверхности уровня.Предположим, что существует силовая функция; приравнивая ее произвольной постоянной а, получим уравнение семейства поверхностей
Эти поверхности называются поверхностями уровня. На одной и той же поверхности уровня силовая функция сохраняет постоянное значение. Через каждую точку
Теорема. — Сила F действует по нормали к поверхности уровня, проходящей через точку приложения силы, и ориентирована в сторону возрастания функции Прежде всего, сила направлена по нормали, так как X, Y, Z пропорциональны направляющим косинусам силы, Далее, сила ориентирована в сторону возрастания функции 130. Работа силы тяжести.Силовое поле однозначно, если сила определяется единственным образом в каждой точке поля. Это имеет место в случае силы тяжести, если предположить, что эта сила действует на одну и ту же материальную точку. Кроме того, мы сейчас установим, что в этом случае существует силовая функция. Направим ось
Следовательно, существует силовая функция
Работа силы тяжести при переходе тяжелой точки из положения
Таким образом, работа силы тяжести, действующей на весомую точку, равна весу точки, умноженному на положительное или отрицательное количество, измеряющее понижение ее центра тяжести (повышение точки рассматривается как отрицательное понижение). В данном случае поверхности уровня определяются уравнением z — а. Эти поверхности представляют собой горизонтальные плоскости, и по этой именно причине они получили название „поверхностей уровня”, которое, по аналогии, было перенесено на общий случай. 131. Работа центральной силы.Пусть М — точка, находящаяся под действием центральной силы F, линия действия которой проходит через центр О. Обозначим через Так как F считается положительной при ориентации, противоположной радиусу-вектору
где v есть скорость
Предположим, что F зависит только от
Таким образом, элементарная работа есть полный дифференциал функции от модуля радиуса-вектора
В этом случае поверхностями уровня Рассмотрим, в частности, случай, когда точка притягивается к центру силой, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра, так что
Поверхности уровня Замечание. — Движущаяся точка может находиться под одновременным действием нескольких центральных сил, являющихся функциями от расстояния и вызываемых притяжением или отталкиванием различных неподвижных центров. В этом случае тоже имеется силовая функция, равная сумме силовых функций, относящихся к каждой из центральных сил в отдельности (n° 127).
|
1 |
Оглавление
|