Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6. СИЛОВОЕ ПОЛЕ. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ126. Векторное поле. Силовое поле.Предположим, что в каждой точке пространства или некоторой части пространства приложен некоторый вектор, определяемый координатами
Эти формулы определяют то, что называется векторным полем. Если векторы, приложенные в каждой точке поля, представляют собой силы, то предыдущие формулы определяют силовое поле. Если материальная точка перемещается в пространстве и в каждой точке пространства находится под действием силы, определяемой данным силовым полем, то говорят, что точка движется в этом силовом поле. В этом случае говорят также, что точка находится под действием силы, зависящей от положения, или позиционной силы. Например, действие Солнца на планету данной массы вполне определяется в каждой точке пространства законом всемирного тяготения: оно зависит лишь от положения планеты. Притяжение Солнца, действующее на планету (в предположении, что планета может занимать любое положение в пространстве), определяет, таким образом, силовое поле, распространенное на все пространство. Когда планета, находясь под действием притяжения Солнца, движется в пространстве, она перемещается, таким образом, в этом силовом поле. 127. Силовая функция. Потенциал.Предположим, что существует силовое поле, т. е. что проекции X, Y и Z силы F представляют собой функции от координат х, у, z точки приложения этой силы; точка приложения рассматривается при этом как произвольная точка пространства. Весьма важным оказывается тот случай, когда проекции X, Y, Z соответственно равны частным производным по
Когда выполнены эти условия, функция Когда существует силовая функция, то выражение для элементарной работы силы представляет собой полный дифференциал этой функции. В самом деле, имеем:
Обратно, если элементарная работа выражается полным дифференциалом функции В самом деле, dx, dy и dz суть так же, как переменные Таким образом, необходимое и достаточное условие для существования силовой функции заключается а том, что выражение для элементарной работы должно быть полным дифференциалом некоторой функции от х, у, z. Силовая функция определяется силой лишь с точностью до постоянной, так как дифференциал силовой функции и ее производные не изменяются от прибавления к ней произвольной постоянной. При этом в каждом случае эту постоянную можно выбирать так, как это представляется наиболее удобным. Мы будем предполагать во всем дальнейшем, что силовая функция Теорема. — Пусть точка находится под действием нескольких сил В самом деле, если имеем
то отсюда следует
что и доказывает теорему. 128. Основная теорема.Если сила F обладает однозначной силовой функцией Рассмотрим параметрическое представление дуги параметр t (который не обязательно должен быть временем) изменяется от
где индексы 0 и 1 относятся к начальному и конечному положениям 129. Поверхности уровня.Предположим, что существует силовая функция; приравнивая ее произвольной постоянной а, получим уравнение семейства поверхностей
Эти поверхности называются поверхностями уровня. На одной и той же поверхности уровня силовая функция сохраняет постоянное значение. Через каждую точку
Теорема. — Сила F действует по нормали к поверхности уровня, проходящей через точку приложения силы, и ориентирована в сторону возрастания функции Прежде всего, сила направлена по нормали, так как X, Y, Z пропорциональны направляющим косинусам силы, Далее, сила ориентирована в сторону возрастания функции 130. Работа силы тяжести.Силовое поле однозначно, если сила определяется единственным образом в каждой точке поля. Это имеет место в случае силы тяжести, если предположить, что эта сила действует на одну и ту же материальную точку. Кроме того, мы сейчас установим, что в этом случае существует силовая функция. Направим ось
Следовательно, существует силовая функция
Работа силы тяжести при переходе тяжелой точки из положения
Таким образом, работа силы тяжести, действующей на весомую точку, равна весу точки, умноженному на положительное или отрицательное количество, измеряющее понижение ее центра тяжести (повышение точки рассматривается как отрицательное понижение). В данном случае поверхности уровня определяются уравнением z — а. Эти поверхности представляют собой горизонтальные плоскости, и по этой именно причине они получили название „поверхностей уровня”, которое, по аналогии, было перенесено на общий случай. 131. Работа центральной силы.Пусть М — точка, находящаяся под действием центральной силы F, линия действия которой проходит через центр О. Обозначим через Так как F считается положительной при ориентации, противоположной радиусу-вектору
где v есть скорость
Предположим, что F зависит только от
Таким образом, элементарная работа есть полный дифференциал функции от модуля радиуса-вектора
В этом случае поверхностями уровня Рассмотрим, в частности, случай, когда точка притягивается к центру силой, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра, так что
Поверхности уровня Замечание. — Движущаяся точка может находиться под одновременным действием нескольких центральных сил, являющихся функциями от расстояния и вызываемых притяжением или отталкиванием различных неподвижных центров. В этом случае тоже имеется силовая функция, равная сумме силовых функций, относящихся к каждой из центральных сил в отдельности (n° 127).
|
1 |
Оглавление
|