§ 6. СИЛОВОЕ ПОЛЕ. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ

126. Векторное поле. Силовое поле.

Предположим, что в каждой точке пространства или некоторой части пространства приложен некоторый вектор, определяемый координатами его точки приложения. Пусть, например, проекции вектора на оси выражаются как функции от общими формулами:

Эти формулы определяют то, что называется векторным полем. Если векторы, приложенные в каждой точке поля, представляют собой силы, то предыдущие формулы определяют силовое поле.

Если материальная точка перемещается в пространстве и в каждой точке пространства находится под действием силы, определяемой данным силовым полем, то говорят, что точка движется в этом силовом поле. В этом случае говорят также, что точка находится под действием силы, зависящей от положения, или позиционной силы.

Например, действие Солнца на планету данной массы вполне определяется в каждой точке пространства законом всемирного тяготения: оно зависит лишь от положения планеты. Притяжение Солнца, действующее на планету (в предположении, что планета может занимать любое положение

в пространстве), определяет, таким образом, силовое поле, распространенное на все пространство. Когда планета, находясь под действием притяжения Солнца, движется в пространстве, она перемещается, таким образом, в этом силовом поле.

127. Силовая функция. Потенциал.

Предположим, что существует силовое поле, т. е. что проекции X, Y и Z силы F представляют собой функции от координат х, у, z точки приложения этой силы; точка приложения рассматривается при этом как произвольная точка пространства. Весьма важным оказывается тот случай, когда проекции X, Y, Z соответственно равны частным производным по некоторой функции , в которой переменные рассматриваются как независимые. В этом случае имеем:

Когда выполнены эти условия, функция называется силовой функцией; в этом случае говорят также, что сила F имеет силовую функцию или потенциал. Потенциал, или потенциальная функция есть силовая функция, взятая с обратным знаком, т. е.

Когда существует силовая функция, то выражение для элементарной работы силы представляет собой полный дифференциал этой функции. В самом деле, имеем:

Обратно, если элементарная работа выражается полным дифференциалом функции трех независимых переменных, то существует силовая функция, и функция эта есть .

В самом деле, dx, dy и dz суть так же, как переменные , независимые произвольные величины, поэтому уравнение (2) распадается на три уравнения (1).

Таким образом, необходимое и достаточное условие для существования силовой функции заключается а том, что выражение для элементарной работы должно быть полным дифференциалом некоторой функции от х, у, z.

Силовая функция определяется силой лишь с точностью до постоянной, так как дифференциал силовой функции и ее производные не изменяются от прибавления к ней произвольной постоянной. При этом в каждом случае эту постоянную можно выбирать так, как это представляется наиболее удобным. Мы будем предполагать во всем дальнейшем, что силовая функция однозначна, т. е. что она в каждой точке может принимать лишь одно значение.

Теорема. — Пусть точка находится под действием нескольких сил Если каждая из них имеет, силовую функцию, то равнодействующая их F также имеет силовую функцию о, и эта последняя есть сумма функций относящихся к каждой из составляющих сил.

В самом деле, если имеем

то отсюда следует

что и доказывает теорему.

128. Основная теорема.

Если сила F обладает однозначной силовой функцией и если точка ее приложения описывает дугу кривой, то работа силы на этой дуге зависит лишь от концов последней Она не зависит от вида пути, по которому точка переходит из начального положения в конечное положение

Рассмотрим параметрическое представление дуги и предположим, что точка М описывает эту дугу, когда

параметр t (который не обязательно должен быть временем) изменяется от до . Так как элементарная работа силы F выражается полным дифференциалом то полная работа имеет вид:

где индексы 0 и 1 относятся к начальному и конечному положениям Следовательно, полная работа силы F равна алгебраическому приращению силовой функции между двумя крайними положениями точки приложения силы.

129. Поверхности уровня.

Предположим, что существует силовая функция; приравнивая ее произвольной постоянной а, получим уравнение семейства поверхностей

Эти поверхности называются поверхностями уровня. На одной и той же поверхности уровня силовая функция сохраняет постоянное значение. Через каждую точку проходит поверхность уровня и притом только одна, определяемая уравнением

Теорема. — Сила F действует по нормали к поверхности уровня, проходящей через точку приложения силы, и ориентирована в сторону возрастания функции

Прежде всего, сила направлена по нормали, так как X, Y, Z пропорциональны направляющим косинусам силы, - направляющим косинусам нормали, и эти величины равны друг другу попарно.

Далее, сила ориентирована в сторону возрастания функции так как элементарная работа положительна для перемещения в сторону действия силы, функция же в этом случае возрастает.

130. Работа силы тяжести.

Силовое поле однозначно, если сила определяется единственным образом в каждой точке поля. Это имеет место в случае силы тяжести, если предположить, что эта сила действует на одну и ту же материальную точку. Кроме того, мы сейчас установим, что в этом случае существует силовая функция.

Направим ось вертикально и ориентируем в сторону действия силы тяжести; тогда проекции веса точки с массой будут:

Следовательно, существует силовая функция

Работа силы тяжести при переходе тяжелой точки из положения в другое положение будет:

Таким образом, работа силы тяжести, действующей на весомую точку, равна весу точки, умноженному на положительное или отрицательное количество, измеряющее понижение ее центра тяжести (повышение точки рассматривается как отрицательное понижение).

В данном случае поверхности уровня определяются уравнением z — а. Эти поверхности представляют собой горизонтальные плоскости, и по этой именно причине они получили название „поверхностей уровня”, которое, по аналогии, было перенесено на общий случай.

131. Работа центральной силы.

Пусть М — точка, находящаяся под действием центральной силы F, линия действия которой проходит через центр О. Обозначим через радиус-вектор ОМ, через F — алгебраическое значение силы, считая его положительным в случае притяжения и отрицательным в случае отталкивания.

Так как F считается положительной при ориентации, противоположной радиусу-вектору , то элементарная работа силы F будет:

где v есть скорость . Но , т. е. проекция скорости v на радиус-вектор, есть радиальная скорость (п°48), и выражение для элементарной работы приводится к виду:

Предположим, что F зависит только от , так что тогда будем иметь:

Таким образом, элементарная работа есть полный дифференциал функции от модуля радиуса-вектора , который сам есть функция от так что существует силовая функция

В этом случае поверхностями уровня являются поверхности, для которых . Они представляют собой поэтому сферы с центром в точке О.

Рассмотрим, в частности, случай, когда точка притягивается к центру силой, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра, так что Силовая функция будет

Поверхности уровня , как и и общем случае, суть сферы с центром в точке О.

Замечание. — Движущаяся точка может находиться под одновременным действием нескольких центральных сил, являющихся функциями от расстояния и вызываемых притяжением или отталкиванием различных неподвижных центров. В этом случае тоже имеется силовая функция, равная сумме силовых функций, относящихся к каждой из центральных сил в отдельности (n° 127).