§ 22. Потенциальная яма

В качестве простого примера одномерного движения рассмотрим движение в прямоугольной потенциальной яме, т. е. в поле с функцией изображенной на рис. при при Заранее очевидно, что при спектр будет дискретным, а при имеется непрерывный спектр двукратно вырожденных уровней.

В области имеем уравнение Шредингера

(22,1)

(штрих означает дифференцирование по ), а в области вне ямы

При х = 0, а решения этих уравнений должны переходить друг в друга непрерывно и с непрерывной производной, а при решение уравнения (22,2) должно оставаться конечным (для дискретного спектра, — обращаться в нуль).

При обращающееся на бесконечности в нуль решение уравнения (22,2) есть

(знаки — и + в показателе относятся соответственно к областям ).

Рис. 1

Вероятность нахождения частицы экспоненциально затухает в глубь области, в которой Вместо непрерывности на границе потенциальной ямы удобно потребовать непрерывности и логарифмической производной . Учитывая (22,3), получаем граничное условие в виде

Мы не станем останавливаться здесь на определении уровней энергии в яме произвольной глубины (см. задачу 2) и разберем полностью только предельный случай бесконечно высоких стенок .

При движение происходит лишь на ограниченном точками , а отрезке, и, как было указано в § 18, граничное условие в этих точках

(Легко видеть, что это условие получается и из общего условия (22.4). Действительно, при имеем также и и потому поскольку не может обращаться в бесконечность, то отсюда следует Ищем решение уравнения (22,1) внутри ямы в виде

Условие при дает , после чего то же условие при дает откуда ( — целые положительные числа, начиная с единицы ) или

Этим определяются уровни энергии частицы в потенциальной яме. Нормированные волновые функции стационарных состояний —

На основании этих результатов можно непосредственно написать уровни энергии для частицы в прямоугольном «потенциальном ящике», т. е. для трехмерного движения в поле с потенциальной энергией при вне этой области. Именно, эти уровни представляются суммами

(22,9)

а соответствующие волновые функции — произведениями

(22,10)

Отметим, что энергия основного состояния оказывается, согласно (22,7) или (22,9), порядка , где l — линейные размеры области движения частицы. Этот результат находится в соответствии с соотношениями неопределенности: при неопределенности координаты неопределенность импульса, а с нею и порядок величины самого импульса соответствующая энергия .

Задачи

1. Определить распределение вероятности различных значений импульса для нормального состояния частицы, находящейся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

Решение. Коэффициенты а разложения функции (22,8) по собственным функциям импульса равны

Вычислив интеграл и возведя модуль в квадрат, получим искомое распределение вероятностей

2, Определить уровни энергии для потенциальной ямы, изображенной на рис. 2.

Решение, Дискретным является спектр энергий который мы и рассматриваем. В области волновая функция

а в области

Внутри ямы ищем в виде

Рис. 2

Условие непрерывности на границах ямы дает уравнения

или

Исключая , получим трансцендентное уравнение

(где , а значения берутся между 0 и ), корни которого определяют уровни энергии Для каждого имеется, вообще говоря, один корень; значения нумеруют уровни в порядке их возрастания. Поскольку аргумент у не может превышать 1, то ясно, что значения k могут лежать только в интервале между 0 и . Левая сторона уравнения (1) есть монотонно возрастающая, а правая — монотонно убывающая функции k. Поэтому для существования корня уравнения (1) необходимо, чтобы при правая сторона была меньше левой. В частности, неравенство

получающееся при есть условие того, чтобы в яме существовал по крайней мере один уровень энергии. Мы видим, что при данных всегда существуют настолько малые значения ширины а ямы, при которых не будет существовать ни одного дискретного уровня энергии. При условие (2), очевидно, всегда выполняется.

При (симметричная яма) уравнение (1) сводится к

(3)

Вводя переменную подучим при нечетном уравнение

причем должны браться те корни этого уравнения, для которых При четном получим уравнение

причем надо брать корни, для которых . По корням этих двух уравнений определяются уровни энергии , число уровней (при ) конечно.

В частности, для мелкой ямы, в которой имеем и уравнение (5) не имеет корней вовсе. Уравнение же (4) имеет один корень (при верхнем знаке в правой части), равный Таким образом в яме имеется всего один уровень энергии

расположенный вблизи ее «верха».

3. Определить давление, оказываемое на стенки прямоугольного «потенциального ящика» находящейся в нем частицей.

Решение. Сила, действующая на стенку, перпендикулярную к оси есть среднее значение производной от гамильтоновой функции частицы по длине ящика вдоль оси давление же получается делением этой силы на площадь стенки. Согласно формуле (11,16) искомое среднее значение находится дифференцированием собственного значения энергии (22,9). В реву льтате получим давление