34. Теорема косинусов. Теорема синусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними (теорема косинусов).

В (рис. 97) по теореме косинусов

Из теоремы косинусов вытекает несколько утверждений.

1. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон ± удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак когда угол острый.

Для случая, изображенного на рисунке 97, можно записать, что

2. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Для параллелограмма, изображенного на рисунке 98, можно записать равенство

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (теорема синусов).

В на рисунке 99 по теореме синусов мы имеем:

Из теоремы синусов следует, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

Если в треугольнике ABC (рис. 99) с , то если то

Пример 1. Для измерения высоты предмета АС, основание А которого недоступно (рис. 100, а), выбирают некоторые точки F и В на прямой АВ и измеряют базис .

Из точек F и В измеряют углы а и Р, под которыми видна наивысшая точка С этого объекта. Доказать, что , где h — высота угломерного инструмента,

Решение. Из треугольника СРВ по теореме синусов откуда

Из треугольника получим

Итак,

Пример 2. По одну сторону реки отмечены две точки А и В. Расстояние Вычислить расстояние

мекду точками находящимися на другом берегу реки, если даны

Решение. Из ACD до теореме косинусов

Из по теореме синусов

по теореме синусов

35. Решение треугольников.

Решение треугольников состоит в нахождении неизвестных сторон и углов треугольника по некоторым известным его углам и сторонам. Будем обозначать стороны треугольника через с, b, с, а противолежащие им углы соответственно через .

Перечислим основные задачи на решение треугольников.

Задача 1. Даны сторона а и два угла треугольника, например Р и у. Найти третий угол и остальные две стороны.

На рисунке 100, в в треугольнике ABC дано; Нужно найти b, с, а.

Решение. а найдем по теореме — по теореме 1.45. Задача имеет решение, если Единственность решения следует из теоремы

Задача 2. Даны две стороны, например а и b, и угол у между ними. Найти остальные два угла и третью сторону.

На рисунке 101, а в треугольнике ABC дано: . Нужно найти .

Решение. Сторону с найдем по теореме по

теореме 1.44 или по теореме 1.45. Задача всегда имеет решение. Единственность решения следует из теоремы 1.15.

Задача 3. Даны две стороны, иапример и угол, противолежащий одной из них, например а. Найти остальные два угла и третью сторону.

На рисунке 101, б в треугольнике ABC дано: . Нужно найти

Решение. Угол найдем по теореме 1.45, у — по теореме 1.21, с — по теореме 1.45. Задача может не иметь решений, иметь одно решение, два решения.

Задача 4. Даны три стороны треугольника. Найти его углы.

На рисунке 101,6 в треугольнике ABC дано: Нужно найти

Решение. Сначала найдем один из углов или у по теореме 1.44. Затем будем поступать, как в задаче 2. Задача имеет решение, если бблыпая сторона меньше суммы двух других Единственность решения следует из теоремы 1.17.