ГЛАВА IV. РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
§ 12. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИЗ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ
118. Понятие о бесконечном ряде.
Пусть дана бесконечная последовательность чисел
Составив сумму 
первых членов последовательности
мы получим, таким образом, другую бесконечную последовательность чисел
Если эта последовательность стремится к пределу (конечному):
говорят, что бесконечный ряд
сходится и имеет сумму s, и пишут:
Если же 
не стремится к пределу, то говорят, что бесконечный ряд (3) расходится.
Иначе говоря, бесконечный ряд (3) называется сходящимся, если сумма его первых 
слагаемых при беспредельном возрастании 
по всем целым положительным значениям стремигтся к пределу, и этот предел называется суммою ряда.
О сумме бесконечного ряда можно говорить только тогда, когда он сходится, и тогда сумма первых членов ряда 
является приближенным выражением для суммы ряда s. Погрешность 
этого приближенного выражения, т. е. разность
называется остатком ряда.
Очевидно, что остаток 
есть в свою очередь сумма бесконечного ряда, который получается из данного ряда (1), если в нем отбросить первые 
членов с начала:
Точная величина этого остатка в большинстве случаев остается неизвестной, и потому особенно важной является приближенная оценка этого остатка.
Простейший пример бесконечного ряда представляет геометрическая прогрессия
Рассмотрим отдельно случаи
Мы знаем 
что при 
геометрическая прогрессия имеет а конечную сумму 
и потому оказывается сходящимся рядом; действительно, при этом
и 
при 
так как 
при 
. При 
из выражения 
видно, что 
при 
так как 
при 
. При 
мы имеем 
и, очевидно, также 
так что при и 
геометрическая прогрессия оказывается расходящимся рядом. При 
мы получаем ряд
Сумма 
первых 
его членов равна нулю, если 
четное, и равна а, если 
нечетное, т. е. 
не стремится к пределу, и ряд расходится; однако при всех значениях 
эта сумма в отличие от предыдущего случая остается ограниченной, так как принимает только значения 0 и а.
Если абсолютная величина 
суммы 
первых членов ряда (3) — стремится к бесконечности при беспредельном возрастании 
, то ряд (3) называется собственно расходящимся.
В дальнейшем, говоря о собственно расходящемся ряде, мы для краткости будем говорить просто расходящийся ряд.
