Правила операций с матрицами

Правила перемножения матриц и векторов требуют, чтобы размеры перемножаемых матриц были согласованными между собой. Так, например, если А есть -матрица, то она может быть:

1) первым сомножителем в произведении данной матрицы на -матрицу, результатом такого перемножения будет -матрица;

2) вторым сомножителем в произведении -матрицы на данную матрицу, результатом такой операции будет матрица.

Следовательно, произведения например, не существует, так как есть -матрица, -матрица. Но существует и выражается в следующей форме:

В качестве более общего примера рассмотрим произведение

Чтобы найти элемент строки и столбца матрицы С, необходимо взять строку матрицы столбец матрицы В, вычислить попарные произведения соответствующих элементов и сложить их. Например,

В таком случае элемент второй строки и первого столбца матрицы С равен:

Определение. Если сумма парных произведений соответствующих элементов строки первой матрицы и столбца второй матрицы равна нулю, то говорят, что строка первой матрицы ортогональна столбцу второй матрицы. Аналогичное определение справедливо при перемножении строк или столбцов одной матрицы.

Сумма двух матриц или векторов есть просто матрица, элементы которой представляют собой суммы соответствующих элементов складываемых матриц или векторов. Например,

Две матрицы или два вектора, которые суммируются, должны иметь одинаковые размеры. Разность между двумя матрицами определяется аналогично сказанному выше с заменой слова «сумма» на слово «разность». Если две матрицы или два вектора равны, то их соответствующие элементы также равны. Таким образом, из матричного уравнения

следует, что

или

для каждого из 25 наблюдений. Следовательно, матричное уравнение (2.1.4) и уравнение (2.1.6) выражают одну и ту же модель. Уравнение (2.1.6) идентично уравнению (1.2.3).

При представлении модели в матричной форме некоторые трудности для начинающих обычно связаны только с выбором матрицы Наиболее простой способ составления этой матрицы состоит в следующем. Надо выписать сначала все параметры модели в виде вектор-столбца 0, и тогда становится ясным, что соответствующие Х-столбцы должны быть выбраны так, чтобы получить модель в данной

алгебраической форме из произведения Например, если модель имеет вид то вектор представляет собой столбец, содержащий упорядоченную последовательность элементов а соответствующие Х-столбцы должны формироваться из 1 (или значений если пользоваться такимобозначением) значений X и значений Следовательно строка матрицы X будет иметь вид где есть из наблюдений. Заметим, что при изменении порядка расположения элементов вектора необходимо провести соответствующее переупорядочение вектор-столбцов матрицы