2.9. ЧАСТНЫЕ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ F-КРИТЕРИИ

Мы уже видели, как получить дополнительные суммы квадратов для одного или нескольких оцениваемых коэффициентов при наличии других коэффициентов, используя две модели, одна из которых включает рассматриваемые коэффициенты, а другая нет.

Если в регрессионной модели содержится несколько членов, то мы можем полагать, что они вводятся в уравнение в любой желаемой последовательности. Если мы найдем

то будем иметь одну степень свободы для суммы квадратов, которая измеряет вклад каждого коэффициента в сумму квадратов, обусловленную регрессией при условии, что все члены, не содержащие уже входят в модель. Другими словами, будем иметь меру для оценки включения члена в модель, которая первоначально не содержала такого члена. Или, говоря иначе, мы имеем меру важности параметра как если бы он был добавлен в модель последним. Соответствующий средний квадрат, равный сумме квадратов, поскольку она имеет одну степень свободы, может сравниваться с величиной с помощью -критерия. Такой вариант -критерия называют частным F-критерием для Если дополнительный член, который мы рассматриваем, есть то мы можем свободно говорить о частном -критерии для переменной хотя мы и знаем, что на самом деле речь идет о проверке гипотезы относительно

При построении подходящей модели частный -критерий — это полезный критерий для решения вопроса о добавлении или исключении членов из модели. Влияние переменной X (например, на величину отклика может быть большим, если регрессионное уравнение включает только Однако если та же переменная входит в модель

после других переменных, она может очень мало влиять на отклик благодаря тому, что величина сильно коррелирована с переменными, уже содержащимися в регрессионном уравнении. Мы можем с помощью частного F-критерия выполнить проверку для всех регрессионных коэффициентов, как будто каждая соответствующая им переменная вводилась в уравнение в последнюю очередь, чтобы видеть относительный эффект каждой переменной. Эта информация может использоваться наряду с другой, когда необходимо выбрать переменные. Допустим, например, что только или могут подойти для составления регрессионного уравнения с откликом Предположим далее, что использование приводит к меньшим ошибкам предсказываемых значений отклика, чем использование Если при этом обеспечена желаемая точность, то в дальнейшем, вероятно, нужно использовать величину Однако если величина была бы управляемой переменной, а только измеряемой, но не управляемой и если бы при этом управление было более важно, чем предсказание, то следовало бы выбрать в качестве независимой переменной величину а не

Если переменные добавляются к регрессионному уравнению последовательно одна за другой, то мы говорим о последовательном F-критерии. Это как раз и есть частный F-критерий по отношению к переменной, которая вводится на данной стадии.

(Примечание. Некоторые авторы не любят пользоваться терминами частный и последовательный F-критерий (и считают их непригодными). Мы подчеркиваем, что это просто удобные, короткие названия для конкретных, теоретически обоснованных -критериев (см. параграф

В некоторых статистических пакетах программ (например, BMDP=UCLA Biomedical Series Р, SPSS=Statistical Packages for the Soci-al Sciences, SAS=Statistical Analysis System) частный F-критерий называется «критерий F для исключения», а последовательный F-критерий называют «критерием F для включения».

Случай, когда ...

Частный F-критерий с числами степеней свободы для проверки гипотезы против альтернативы равен в точности квадрату -статистики с степенями свободы, которая вычисляется по формуле ошибка где в знаменателе стоит

стандартная ошибка коэффициента равная корню квадратному из соответствующего диагонального элемента матрицы базируется на степенях свободы. Проверка гипотезы может выполняться с использованием либо либо -статистики. Анализируя таблицы процентных точек, можно убедиться, что при любых значениях . Во многих программах используются обе статистики. Заметим, что в силу ошибок округления точное соотношение между указанными статистиками выдерживается не всегда.