Влияние смещения на анализ с помощью метода наименьших квадратов

(Примечание. Только в этой части параграфа мы будем обозначать буквой X матрицу, ранее обозначавшуюся как а вместо Р будем использовать обозначение Выражение остается неизменным, оно будет применяться для обозначения дополнительных слагаемых в модели. Теперь выясним, какой эффект оказывает смещение на обычную процедуру метода наименьших квадратов.)

Примем следующие предположения:

1. Постулируемая модель содержит параметров;

2. «Истинная» модель есть где может быть равным 0, и в этом случае постулируемая модель правильна.

3. Общее число наблюдений равно и имеется степеней свободы для оценки неадекватности и степеней свободы для оценки «чистой» ошибки, так что (Это значит, что план содержит различных точек.)

4. Оценки и вектор предсказаний получаются, как обычно.

Тогда будут верны следующие результаты.

1. Матрица есть всегда правильная матрица дисперсий-ковариаций оценок коэффициентов

4. Таблица дисперсионного анализа имеет вид:

5. Если если постулируемая модель правильна, то приведенные выше результаты сводятся к

Е (средний квадрат, обусловленный прочими оценками Вот почему средний квадрат, обусловленный оценками, сравнивается с оценкой чтобы проверить гипотезу если оцениваемая модель не отклоняется сразу при проверке гипотезы о неадекватности модели. Если же критерий неадекватности свидетельствует об отсутствии согласия между экспериментальными и расчетными данными, причем то бесполезно производить проверку, используя средний квадрат, обусловленный регрессией, даже если в качестве оценки параметра используется средний квадрат, обусловленный «чистой» ошибкой, а не остаточный средний квадрат.

В этом случае, если справедлива гипотеза (средний квадрат, обусловленный прочими оценками которое мы могли бы использовать, имеют нецентральное -раепреде-ление, а не обычное центральное распределение, которое мы предполагаем, когда выполняем (ошибочную) проверку гипотезы в рамках обычной процедуры.