3.7. КОРРЕЛЯЦИЯ МЕЖДУ ОСТАТКАМИ

В общей регрессионной ситуации, когда по наблюдениям оцениваются параметров, остатков связаны лишь с степенями свободы. Следовательно, остатки не могут быть независимыми и между ними существует корреляция. Если постулируется модель и если матрица неособенная, то можно записать остатки в матричной форме:

где важнейшая матрица, между прочим, многократно встречающаяся в регрессионных исследованиях.) Поскольку

и матрица дисперсий-ковариаций вектора определяется выражением

Теперь если как мы обычно предполагаем, и если используется невзвешенный (обычный) метод наименьших квадратов. Кроме того,

Следовательно, матрица симметрична и

так как что легко проверить Значит, дисперсия представляет собой диагональный элемент, задается -злементом матрицы Коэффициент корреляции между равен:

Таким образом, значения этих коэффициентов полностью определяются элементами матрицы X, поскольку исключается.

Возникает вопрос, не обесценивают ли эти корреляции графики остатков? Замечания по этому поводу см. в работе: Ancombe F. J., Тukeу J. W. The examination and analysis of residuals.- Technometrics, 1963, 5, p. 144. При обсуждении дисперсионного анализа двусторонних классификаций (где имеется несколько ограничений, накладываемых на остатки) Ф. Энскамби и Дж. Тьюки отмечают, что хотя корреляции и ограничения влияют на функции распределения от остатков, соответствующим влиянием их на графические процедуры можно обычно пренебречь Это связано, главным образом, со способом, лежащим в основе получения графика остатков, но отчасти и с отсутствием точно определенных уровней значимости. (Это верно также для большинства других сбалансированных планов.)» В заключение Ф. Энскамби и Дж. Тьюки говорят, что в таблице сопряженности (таблице с двумя входами) при четырех или более строках и четырех или более столбцах влияние корреляции на графические процедуры обычно пренебрежимо мало По-видимому, в общей регрессионной ситуации, когда строятся графики

остатков, нет необходимости учитывать эффект корреляции между остатками, за исключением того случая, когда отношение числа степеней свободы для остатков к общему числу остатков, весьма мало.