Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1.2. ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ: ПОДБОР ПРЯМОЙМы упоминали, что уравнение прямой может быть полезно во многих ситуациях для обобщения наблюдаемой зависимости одной переменной от другой. Теперь покажем, как такое уравнение можно получить методом наименьших квадратов, когда имеются экспериментальные данные. Выделим в машинной распечатке на с. 30 двадцать пять наблюдений переменной 1 (количество пара (в фунтах), израсходованного за месяц) и переменной 8 (средняя температура воздуха в градусах Фаренгейта). Соответствующие пары наблюдений приведены в табл. 1.1 и нанесены на график рис. 1.4. Предположим, что линия регрессии переменной, которую мы обозначим
Рис. 1.4. Данные и подобранная прямая Тогда можно записать линейную модель:
так что для данного X соответствующее значение Таблица 1.1. Двадцать пять наблюдений переменных 1 и 8
Уравнение (Примечание. Когда мы говорим, что модель линейна или нелинейна, мы имеем в виду линейность или нелинейность по параметрам. Величина наивысшей степени предиктора в модели называется порядком модели. Например,
есть регрессионная модель второго порядка (по X) и линейная (по Итак, в уравнении (1.2.1) величины
где Общепринято обозначение оценок параметров маленькими латинскими буквами, а самих параметров — греческими: обозначения для оценок: Нашей процедурой оценивания будет метод наименьших квадратов. Возник спор, насчет того, кто же первый предложил этот метод. По-видимому, он был разработан независимо Карлом Фридрихом Гауссом (1777—1855) и Адриеном Мари Лежандром (1752—1833), ибо Гаусс начал им пользоваться до 1803 г. (он настаивал на дате около 1795 г., но доказательств для этой более ранней даты нет), а Лежандр опубликовал первое сообщение в 1805 г. Когда Гаусс в 1809 г. написал, что он пользовался методом наименьших квадратов раньше, чем были опубликованы результаты Лежандра, началась ссора из-за приоритета. Эти данные тщательно изучены и обсуждены в работе Плэкетта из цикла «Исследования по истории теории вероятностей и статистики» (см.: Plackett R. L. Studies in the history of probability and statistics. XXIX. The discovery of the method of least squares.- Biometrika, 1972, 59, p. 239-251), которую мы настоятельно рекомендуем читателю. Еще рекомендуем публикации: Eisenhart С. The meaning of «least» in least squares.- Journal of the Washington Academy of Sciences. 1964, 54, p. 24-33 (перепечатано в Precision Measurement and Calibration, ed. H. H. Ku. National Bureau of Standards Special Publication 300, 1969, 1) и статью «Карл Фридрих Гаусс» из Международной энциклопедии социальных наук (Gauss, Carl Friedrich. International Encyclopedia of the Social Sciences.- New York: Macmillan Co., Free Press Div., 1968, 6, p. 74-81), а также связанную с этой проблемой работу: Stig1ег S. М. Gergonnes’s 1815 paper on the design and analysis of polynomial regression experiments. Historia Mathematica, 1974, 1, p. 431- 447 (cm. c. 433). При некоторых предположениях, которые обсуждаются в гл. 2, этот метод обладает определенными свойствами. Пусть мы имеем множество из
Рис. 1.5. Вертикальные отклонения, минимизирующие сумму квадратов в методе наименьших квадратов где
Будем подбирать значения оценок
так что для оценок
где при приравнивании выражений (1.2.5) к нулю мы подставили
или
Эти уравнения называют нормальными. Решение уравнений (1.2.8) относительно угла наклона прямой —
где суммирование всегда ведется от той же величины. Так как по определению
имеем:
Отсюда следует эквивалентность числителей в (1.2.9), а заодно, при замене Первая форма уравнения (1.2.9) обычно используется для вычисления Здесь и далее возьмем удобные обозначения и запишем:
Заметим, что все эти выражения эквивалентны. Аналогично можно записать:
Вот легко запоминающаяся формула для
Решение уравнения (1.2.8) относительно свободного члена (отрезка на оси ординат при
С помощью подстановки уравнения (1.2.10) в уравнение (1.2.2) можно получить оцениваемое уравнение регрессии:
где определяется уравнением (1.2.9). Отметим, что если в (1.2.11) положить
Поэтому подобранное уравнение есть
Построенная линия регрессии нанесена на рис. 1.4. Мы можем составить таблицу предсказанных значений Отметим, что так как
то
Значит и сумма остатков будет равна нулю. На практике из-за ошибок округления она может оказаться не точно равной нулю. Таблица 1.2. Результаты наблюдений, расчетные значения и остатки
В любой регрессионной задаче сумма остатков всегда равна нулю, если член (30 входит в модель. Это следствие первого из нормальных уравнений. Исключение
или
где
в соответствии с уравнением (1.2.9) и
так как
Мы потеряли один параметр, но это соответствует потере в данных, так как величины
|
1 |
Оглавление
|