2.10. ПРОВЕРКА ОБЩЕЙ ЛИНЕЙНОЙ ГИПОТЕЗЫ В РЕГРЕССИОННЫХ ЗАДАЧАХ

Экспериментаторы нередко постулируют модели, которые оказываются более общими, чем те, которые они надеются использовать фактически. Допустим, например, что экспериментатор включает в однооткликовую модель два предиктора имеет набор данных При этом он подозревает, что хотя оба предиктора, влияют на отклик, однако фактически важна лишь разность Если использовать обе величины X, то следует оценивать модель

если же оправдано указанное выше подозрение, то надо ориентироваться на модель

Как проверить такое подозрение? По существу, ставится вопрос: «Может ли быть так, что в уравнении Или по-другому: «Справедливо ли соотношение Таким образом, речь идет о проверке нуль-гипотезы против альтернативы Поскольку включает утверждение о линейной комбинации параметров мы называем ее линейной гипотезой.

Линейные гипотезы обычно вытекают из знаний экспериментатора или его предположений относительно возможных моделей. Они могут также появиться в результате консультаций у

специалиста-статистика, если последний достаточно глубоко вникнет в суть задачи, чтобы понять ее на таком уровне. В идеале статистик и должен быть таким, но на практике это происходит не всегда.

Линейные гипотезы могут включать не одно, а несколько утверждений о параметрах Теперь мы приведем дополнительные примеры линейных гипотез, объясним, в общем, как они проверяются, и проиллюстрируем процедуру на простых численных примерах. всегда будет утверждением, что в некотором смысле не верна, а в каком — это мы не будем оговаривать особо в примерах.

Подчеркнем снова, что принцип дополнительной суммы квадратов есть специальный частный случай рассматриваемой здесь проблемы.

Пример 1. Модель:

Под «независимыми» мы понимаем линейно независимые, так что одно выражение не может быть представлено в виде линейной комбинации остальных выражений, входящих в группу.

Пример 2. Модель:

Пример 3. Модель:

Заметим, что это соответствует, скажем, такой гипотезе:

Пример 4 (Общий случай). Модель:

В данной гипотезе участвует линейных функций от параметров и при этом не обязательно, чтобы они были независимыми. Гипотеза может быть выражена в матричной форме:

где

В дальнейшем мы будем полагать, что функций в общем случае зависимы и при этом первые из них по порядку функций независимы, а остальные зависят от них. Следовательно, если мы имеем эти первые независимых функций, то можем составить линейные комбинации из них так, чтобы получить оставшиеся линейных функций.

Ранее мы видели, как можно проверить гипотезы вида, указанного в примерах 1 и 2. Теперь мы объясним, как можно проверить более общие гипотезы.