Приложение 2А. НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ

(Более полный перечень подобных результатов указан, например, в монографиях: Graybill F. А. Ап Introduction to Linear Statistical Models.- New York: McGraw-Hill, 1961; Pао С. P. Линейные статистические методы и их применения.- М.: Наука, 1968.)

3. Квадратную матрицу С называют ортогональной, если

4. Квадратная матрица М называется идемпотентной, если

5. Если М симметричная и идемпотентная, то

Следовательно, любая матрица вида где М симметричная и идемпотентная, будет ортогональной.

6. где (след) обозначает сумму диагональных элементов квадратной матрицы (например,

то

при этом предполагается, что все матрицы, которые здесь обращаются, неособенные. С другой стороны,

Если симметричная, то

8. Если есть матрицы с размерами то

Этот результат особенно полезен, если намного меньше, чем Частный случай 1. Если X есть -матрица, то

Частный случай 2. Если А есть -матрица, а и и

отсюда появляется возможность обращать матрицу зная (Для этого надо положить

9. Если А есть то

Доказательство. Умножим исходную матрицу слева на матрицу

и запишем затем детерминант полученной матрицы. В итоге получим указанное выше выражение.

Частный случай 1. Положим, что получим следующий результат:

Частный случай 2. Положим, что блочная матрица симметрична, т. е. Некоторые полезные результаты по специальным случаям обращения матриц см. в статье: