Приложение 2Б. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СУММЫ КВАДРАТОВ

Запишем уравнения для модели 1 и для модели 2:

где Заметим, что столбцы -матрицы

которая является матрицей остатков при построении регрессии от ортогональны к столбцам Если мы обозначим произведение матриц

что представляет собой матрицу смещения, то мы можем выразить матрицу в виде

Используя этот результат, можно записать модель 1 так:

где мы просто добавили и вычли вектор и произвели

перегруппировку членов. Полагая можно переписать модель 1:

где обе части модели «взаимно ортогональны», поскольку Пусть есть МНК-оценки параметров модели 1. Тогда сумма квадратов, обусловленная регрессией, для модели 1, соответствующая величине равна:

В силу ортогональности столбцов матриц внедиагональные члены в матрице, подлежащей обращению, равны нулевым матрицам. Поэтому достаточно обратить лишь диагональные матрицы порознь и можно получить

где , очевидно, есть сумма квадратов, обусловленная регрессией, для модели 2, а матрица непосредственно вытекает из приведенных выкладок. Мы можем, таким образом, записать «дополнительную сумму квадратов для при наличии

Для того чтобы получить математическое ожидание этой суммы, применим общую формулу

где . В нашем случае

так что

Вспомним, что Запишем далее: След произведения матриц можно преобразовать, используя известную формулу Обозначив и получим

В итоге имеем

Отсюда следует, что при соблюдении нуль-гипотезы,