Проверка общей линейной гипотезы Cb = 0

Предположим, что рассматриваемая модель, которая предполагается правильной, имеет вид

где есть -вектор, -матрица, -вектор.

Если неособенная матрица, то можем оценить вектор Р с помощью соотношения

Остаточная сумма квадратов для этого случая, как мы видели, задается выражением

Она имеет степеней свободы. Линейная гипотеза, подлежащая проверке, дает независимых ограничений на параметры поскольку условие представляет собой уравнений, из которых только независимых. Мы можем использовать независимых уравнений, чтобы выразить коэффициентов через остальные коэффициентов. Подстановка этих решений в исходную модель дает преобразованную модель в виде

где а — вектор параметров, подлежащих оцениванию. Число таких параметров равно Правая часть уравнения , где есть

-матрица, а -вектор, представляет собой результат подстановки в параметров , на которые наложены ограничения.

Теперь мы можем оценить вектор параметров а, входящий в новую модель,

если матрица неособенная. Новая остаточная сумма квадратов будет иметь вид

Эта сумма квадратов имеет степеней свободы.

Так как во второй форме записи участвует меньше параметров, всегда будет больше, чем Разность сумм называется суммой квадратов, обусловленной гипотезой и имеет степеней свободы. Проверка гипотезы может быть выполнена с помощью отношения

Последнее имеет -распределение. Если ошибки независимы и распределены нормально, то проверка с помощью этого критерия будет корректной.

Соответствующая проверка применительно к примерам 1 и 2 (уже реализованная в виде соотношения (2.6.13), где представляет собой частный случай общей процедуры. Преобразованная модель в обоих случаях имеет вид

где вектор, образованный из единиц. Другой способ записи этой модели:

Поскольку степенями свободы, тогда как и имеет степеней свободы. Следовательно, отношение для проверки гипотезы (для примера 2; при имеем пример 1) есть просто

и это отношение — случайная величина, подчиняющаяся -распределению, что в точности совпадает с процедурой, выраженной формулой (2.6.13), где

Проиллюстрируем теперь применение процедуры на простом, но не таком уж типичном случае.

Рабочий пример. Дана модель проверить гипотезу где

Решение. Сначала найдем остаточную сумму квадратов при условии, что подбирается модель

Имеем

(см. скан)

Уравнения, соответствующие нулевой гипотезе имеют вид

Гипотеза может быть записана более просто в форме поскольку третье и четвертое уравнения являются линейными комбинациями первого и второго.

Подстановка этих выражений преобразует модель

где

Таким образом,

Далее и обусловленная гипотезой. Соответствующая статистика для проверки гипотезы имеет, таким образом, значение

Поскольку мы не отвергаем гипотезу Так как исходная модель выражалась уравнением и гипотеза не отвергнута, принятие гипотезы приводит к более правдоподобной модели