3.2. ГРАФИК ВРЕМЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Предположим, что остатки в примере, приведенном выше, получены именно в той последовательности по времени, как они приведены. Тогда график временной зависимости станет таким, как показано на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Остатки, представленные во временной последовательности

Если «отойти» от этой диаграммы, то изображение остатков сольется в горизонтальную «полосу» вроде той, которая представлена на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Подходящий график остатков должен иметь такой общий вид

Она показывает, что эффект времени не влияет на данные (или, если он и влияет, то это можно отнести за счет переменных X, подверженных еще и действию времени). Однако если полоса остатков напоминает по виду одну из диаграмм на рис. 3.4, то мы должны заключить, что не учтен эффект времени. Он может быть связан с такими обстоятельствами:

1) дисперсия не постоянна, а растет со временем, поэтому надо применить взвешенный метод наименьших квадратов;

2) в модель следовало бы включить линейный член от времени;

3) в модель должны быть включены линейный и квадратичный члены от времени.

Конечно, могут иметь место сочетания или вариации этих эффектов (например, в случае 2 возможен наклон в противоположную сторону и т. д.).

Мы говорили о том, что остатки на нашем графике не обнаруживают никакой явной тенденции, свидетельствующей о временной зависимости. Более детальное исследование этого графика показывает, что если это и верно для долгосрочной тенденции, то на краткосрочные тенденции наши утверждения распространить нельзя. Если сгруппировать остатки потри, а именно (1, 2, 3), (4,

5,6), (7, 8, 9), (10, 11), то можно наблюдать тенденцию к уменьшению их величин в каждой группе, напоминающую некоторый вид регулярных («сезонных») изменений. Эти изменения должны быть отражены в пересматриваемой модели. Если предположить, например, что это линейные тренды, имеющие одинаковые наклоны, то можно добавить к модели член вида где коэффициент регрессии, подлежащий оцениванию, есть переменная, представляющая собой остаток от деления величины на 3. Значения этой новой переменной таковы:

(Другая альтернатива состоит в использовании в качестве переменной величины Это дает уровни — вместо 0, 1, 2, что иногда более удобно.)

Рис. 3.4. Примеры ситуаций, характеризующих неудовлетворительное поведение остатков

Хотя работа с такими фиктивными переменными обеспечивает прослеживание за имеющимися вариациями, следует также предпринимать усилия для нахождения их причин. Легко представить себе образцы таких графиков остатков и фиктивных переменных, которые не стоит рассматривать без каких-либо основательных причин.

Мы предполагали, что на нашем графике (см. рис. 3.2) остатки разделяют равные промежутки времени. Если это не так и известны действительные отрезки времени, то, конечно, при построении графиков следует воспользоваться этой информацией.

Временные графики остатков можно еще обработать в соответствии с предложениями У. Кливленда и Б. Кляйнера (см.: Cleveland W. S., Kleiner В. A graphical technique for enhancing scatterplots with proving statistics.- Technometrics, 1975, 17, p. 447- 454).

На график наносятся три кривые текущих значений следующих статистик: 1) срединное (усеченное) среднее (среднее арифметическое значение всех наблюдений, лежащих между квартилями, для данных, полученных к рассматриваемому моменту времени); 2) нижнее полу-срединное среднее (срединное среднее всех наблюдений, лежащих ниже медианы всех данных, полученных к рассматриваемому моменту времени); 3) верхнее полусрединное среднее (все то же самое, что и в предыдущем случае, только выше медианы). «Эти три статистики представляют собой сводки оценок центра рассеяния, размаха и асимметрии наших данных» (см. с. 449 указанной выше работы).