3.9. СЕРИАЛЬНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ ОСТАТКОВ

В регрессионных исследованиях мы, как правило, предполагаем, что ошибки наблюдений попарно некоррелированы. Если бы это предположение оказалось фактически нарушенным, то можно было бы ожидать, что график зависимости остатков от времени или какой-нибудь другой, чувствительный к порядку график, который мы бы построили с учетом наших обстоятельств, поможет установить этот факт. Конечно, ошибки могут коррелировать самыми разнообразными

способами. Но, как правило, все сводится к тому, что они могут проявить сериальную корреляцию, т. е. такую корреляцию, где зависимость между ошибками, отстоящими друг от друга на шагов, всегда остается одинаковой. Мы примем для такой корреляции обозначение где

Рис. 3.7. (а) Серия остатков, проявляющих локально положительную корреляцию, (б) График сериальной корреляции с единичным сдвигом для тех же данных

В тех частных случаях, когда остатки проявляют локально положительную сериальную корреляцию, соседние остатки во временной последовательности становятся более похожими друг на друга, чем на другие остатки. Их временной график будет в общем похожим на рис. 3.7 (а) со взлетами и падениями, но с соседними точками, более

близкими между собой, чем с остальными. Корреляция между остатками, которые разделяет один шаг (или два, или три) называется сериальной корреляцией с единичным сдвигом (или со сдвигом на два, три и т. д. шага).

Рис. 3.8. (а) Серия остатков, проявляющих локально отрицательную сериальную корреляцию, обусловленную, быть может, транспортным запаздыванием. (б) График сериальной корреляции с единичным сдвигом для тех же даииых

Эмпирически сериальную корреляцию с единичным сдвигом можно изучить на графике, где каждый остаток, кроме первого, сдвинут на один шаг назад. Положительная с единичным

сдвигом сериальная корреляция, имеющаяся в данных на рис. 3.7 (а), сама собой проявляется на рис. 3.7 (б) в тенденции «из левого нижнего в правый верхний угол». Чтобы увидеть корреляции для больших сдвигов, мы можем точно так же построить графики остатков со сдвигом на два шага, на три шага и т. д.

Рис. 3.9. (а) Серия некоррелированных остатков. (б) График сериальной корреляции с единичным сдвигом для тех же данных

Могут встретиться и отрицательные сериальные корреляции между соседними остатками. Одна из причин этого явления, которое встречается в периодических или циклических процессах, известна как транспортное запаздывание. Вот как это может происходить. Положим, что некоторая конкретная порция продукта, введенная в процесс, переработана не полностью, поскольку часть продукта осталась в трубопроводах и насосах, обеспечивающих данный реактор. Тогда зафиксированный выход продукта для этой порции

оказался бы необычно низким. Зато следующая порция способствовала бы переработке этого запасенного материала, давая тем самым необычно высокий выход. В итоге структура остатков может оказаться похожей на ту, что приведена на рис. 3.8 (а), где положительные значения обычно следуют за отрицательными, и наоборот. Существование в этих данных отрицательной сериальной корреляции с единичным сдвигом видно из структуры рис. 3.8 (б), где точки группируются вдоль направления «с правого нижнего в левый верхний угол».

На рис. 3.9 (а) показана некоторая случайная серия остатков, а на рис. 3.9 (б) - соответствующий график сериальной корреляции с единичным сдвигом, на котором вообще не проявляется никакой тенденции к тренду.

Исследование структур сериальных корреляций — один из методов анализа временных рядов. Такой анализ коррелированных данных — часто дело стоящее. Заинтересованный читатель может посмотреть например, такие книги: Box G. Е. P., Jenkins G. М. Time Series Analysis, Forecasting and Control.- Hol-den-Day, San Francisco: 1970; Jenkins G. М., Watts D. G. Spectral Analysis and its Applications.- San Fracisco: Holden-Day, 1968.

Использование взвешенного метода наименьших квадратов для сериально коррелированных данных

Основной метод анализа, которым можно воспользоваться при наличии сериальной корреляции остатков, — это взвешенный метод наименьших квадратов, описанный в параграфе 2.11. А главная трудность в его применении — отыскание матрицы V из уравнения (2.11.2). Когда наблюдения упорядочены во времени, элементом матрицы V будет служить где причем Для оценки нам надо сдвигать наблюдения на шагов и вычислять коэффициент корреляции по формуле (1.6.5), отбрасывая те наблюдения, для которых при сдвиге не найдется пары. Полученные таким образом оценки подставляются в матрицу V, что дает матрицу V, которая в свою очередь используется в таких уравнениях, как (2.11.10) и (2.11.11). Для анализа остатков такой взвешенной модели нам нужны оценки матрицы см. уравнения (2.11.3) и (2.11.4). Вот эти оценки:

где

а предсказание взвешенного метода наименьших квадратов, т. е.

Иными словами, элементы матрицы есть

и при исследовании годятся методы, описанные в этой главе.

(Примечание. Фактически это та же формула для из обычного невзвешенного метода наименьших квадратов, но только с подстановками вместо соответственно.)

Две проверки для сериальной корреляции

Существуют два хорошо известных способа проверки того, есть ли в остатках признаки сериальной корреляции. Это критерий серий и критерий Дарбина-Уотсона. К их описанию мы теперь и переходим,