3.11. КРИТЕРИЙ ДАРВИНА—УОТСОНА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ СЕРИАЛЬНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

Есть широко распространенный критерий для выявления сериальной корреляции определенного вида, который называется критерием Дарбина-Уотсона. (Он назван именами двух исследователей, которые обсуждали его применение к анализу регрессионных остатков и в 1951 г. построили удобные таблицы. Первоначально он был предложен еще в 1941 г. фон Нейманом для нерегрессионных задач. Некоторые работы, посвященные этим вопросам, приведены в библиографии к гл. 3, см.

Пусть мы хотим подобрать постулированную линейную модель

методом наименьших квадратов по наблюдениям Обычно мы должны предполагать, что ошибки независимые случайные величины с распределением т. е. что все сериальные корреляции . С помощью критерия

Дарбина-Уотсона можно проверить нуль-гипотезу о том, что все против альтернативы

. Такая альтернатива появляется из предположения о том, что ошибки подчиняются условию

где а независимы

При этом еще предполагается, что и среднее, и дисперсия ошибок постоянны и не зависят от и, откуда с необходимостью следует, что Заметим, что когда нуль-гипотеза верна и это условие сводится к т. е. к нашим обычным предположениям для всех

Для проверки против альтернативы мы строим модель по уравнению (3.11.1) и находим набор остатков Теперь можно построить статистику

и определить на ее основе, можно ли отвергнуть нуль-гипотезу. Такое определение несколько сложнее, чем то, с которым мы имели дело раньше, поскольку вместо одного критического значения теперь приходится использовать два. Кроме того, применяют только для проверки нижнего хвоста, т. е. против альтернатив . А для проверки против «обратных» альтернатив вообще говоря, требуется критерий для верхнего хвоста. К счастью, его можно легко заменить на критерий для нижнего хвоста статистики

В табл. 3.2, 3.3 и 3.4, опубликованных Дарбином и Уотсоном в 1951 г., содержатся пары (обозначенные точек для уровней значимости т. е. критические значения для уровней вероятностей и 0,01 соответственно. Они приводятся для различных чисел наблюдений и для предикторов (см. в уравнении Проверка сводится к следующему.

1. Односторонний критерий против альтернатив Если то заключают, что значимо и отбрасывают на уровне а.

Если то заключают, что не значимо и не отбрасывают

Если же то проверка не позволяет сделать никакого вывода.

2. Односторонний критерий против альтернатив Повторить (1), используя вместо

3. Двусторонний критерий с равными хвостами против альтернатив Если или то заключают, что значимо и отбрасывают гипотезу на уровне 2а.

Если то заключают, что незначимо и не отбрасывают гипотезу на уровне 2а.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

В противном случае критерий не позволяет сделать каких-либо заключений.

Невозможность иногда принимать решение, что характерно для описанных выше критериев, совсем не привлекательна, однако эта ситуация оказалась далеко не простой. В более позднем исследовании действительно были предложены средства, позволяющие избавиться от случаев неразрешимости, но они гораздо сложнее того, что мы рассматриваем, и мы здесь не будем о них более говорить. Тем не менее было установлено, что во многих случаях работа с тестом так, как будто не существует, остается единственным подходящим критическим значением, дает прекрасное приближение к действительному положению вещей. Такая упрощенная приближенная процедура проверки гипотез сводится к следующему.

Г. Упрощенный односторонний критерий против альтернатив Если то отвергнуть гипотезу на уровне а, в противном случае не отвергать.

2. Упрощенный односторонний критерий против альтернатив Если то отвергнуть гипотезу на уровне а, в противном случае не отвергать.

3. Упрощенный двусторонний критерий против альтернатив Если или то отвергнуть гипотезу на уровне 2а.

Для практических целей на этом уровне сложности мы предлагаем прежде всего воспользоваться -критерием, чтобы увидеть, можно ли получить ясное решение. Невозможность получить результат в такой проверке была бы, конечно, окончательным приговором упрощенному критерию, но в нашем решении второго уровня она могла бы указывать либо на появление «сигнала опасности», либо, возможно, на несколько более высокий уровень -риска, чем тот, что соотносится с упрощенным критерием. Ниже в примере 2 приведены рассуждения такого рода.

Пример 1. Остатки при подборе прямой по парам значений привели к значению -статистики, равному Сначала мы проверим двусторонним критерием гипотезу против двусторонних альтернатив Для этого сравним значения с соответствующими значениями из табл. 3.2-3.4. Для при мы находим

Отсюда следует, что, пользуясь методом (3), мы отвергнем гипотезу на уровне и придем к выводу, что, по-видимому, сериальная корреляция проверяемого вида действительно существует в наших данных. Такое предположение ставит под сомнение подобранную модель и требует пересмотра данных в свете новой

информации. (См., например, книги: Jеnkins Q. М., Watts D. Q. Spectral Analysis and Its Applications.- San Francisco: Holden-Day, 1968; Box G. E. P., Jenkins G. M. Time Series, Forecasting and Control.- San Francisco: Holden-Day, 1970.)

Пример 2. При построении линейной модели с четырьмя предикторными переменными получилось 70 остатков, для которых мы нашли значение -статистики, равное 1,51. Надо проверить гипотезу Но против односторонней альтернативы где

Рис. 3.10. Зависимость 5%-ных значений от при

Из табл. 3.2-3.4 находим следующие критические точки:

Мы видим, что воспользовавшись методом (1), на всех уровнях получим неразрешимый результат первичной проверки. Обратившись к методу Г, мы придем к вторичному выводу, что гипотеза должна быть отвергнута на том основании, что величина оказалась меньше, чем на уровне Фактический уровень отбрасывания будет, возможно, не так низок, как поскольку мы воспользовались упрощенным критерием. Мы также видим, однако, что и при обычном критерии мы должны были бы почти отвергнуть нашу гипотезу на уровне поскольку 1,51 очень близко к Значит, можно с некоторым основанием думать, что уровень, при котором отбрасывается лежит где-то между Это ставит под сомнение подобранную модель и делает целесообразным повторный анализ данных, учитывающий выявленную сериальную корреляцию (см. ссылки, приведенные в примере 1).

На рис. 3.10 представлены графики зависимости от числа наблюдений при уровне значимости Заметим, что вертикальные расстояния между парами кривых с соответствующими номерами образуют область отсутствия решения при применении стандартного критерия и что с ростом эта область сжимается. Мораль ясна: чем больше наблюдений, тем более вероятно, что мы сможем принять определенное решение с помощью критерия Дарбина-Уотсона. Специалисты по анализу временных рядов на основании своего опыта знают, что для получения полезных выводов в их исследованиях надо иметь Как видно из рис. 3.10, такое рабочее правило не стоит забывать при применении критерия Дарбина-Уотсона.