2.2. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ В МАТРИЧНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ

Напомним (см. параграф 1.3), что в таблицу дисперсионного анализа наиболее общего вида мы вписывали

Каждая из этих сумм квадратов имеет одну степень свободы. Далее

в матричных обозначениях с двумя степенями свободы. Следовательно, можно записать таблицу дисперсионного анализа в матричной форме:

Этим способом мы можем расщепить общую вариацию на две части. Первая из них обусловлена регрессионной зависимостью, которая оценивается. Вторая связана с остатком и отражает вариации

точек около линии регрессии. Для того чтобы найти, какая часть общей вариации может быть отнесена за счет добавления члена к более простой модели необходимо вычесть корректирующий фактор из суммы квадратов в итоге получим как это следует из (2.2.1). Величина представляет собой если речь идет о подборе модели Остаток от следовательно, представляет собой дополнительную сумму квадратов, обусловленную исключением из модели слагаемого Если из параллельных опытов известна оценка «чистой» ошибки, из остаточной суммы квадратов вычитается соответствующая величина и получаются такие же разложения и критерии, которые были описаны в параграфе 1.5.

Пример. Для нашего основного примера мы имели

Следовательно,

Прежде мы получили 45,59, так что разница составляет 0,36. Это снова связано с округлением чисел при счете и указывает фактически на то, что даже при простых регрессионных вычислениях рационально сохранять столько значащих цифр, сколько возможно.

Заметим, что может быть записана в матричной формег

где есть обычная симметричная идемпотентная матрица (см. с. 164), которая часто встречается в работах по регрессионному анализу. При замене на как это сделано выше, мы используем важное правило, состоящее в том, что при транспонировании произведения матриц получается произведение транспонированных матриц, записанных в обратном порядке. В общем случае, например, имеем

Если мы применим это правило к выражению обозначив и учтем при этом, что есть симметричная матрица, а также, что (транспонирование транспонированной матрицы приводит к исходной матрице), то получим указанный выше результат.

Приведем также некоторые результаты матричного регрессионного анализа, проверяя которые читатель может убедиться в своем, умении обращаться с матрицами: