5.1. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

Модели первого порядка

1. Если в уравнении (5.0.1), то мы имеем простую модель первого порядка с одним предиктором:

2. Если то мы имеем модель первого порядка с предикторами:

Модели второго порядка

1. Если то мы имеем модель второго порядка с одним предиктором:

2. Если мы имеем модель второго порядка с двумя предикторами:

Полную модель второго порядка для переменных можно получить аналогичным путем, когда

Модели второго порядка применяются, в частности, при исследовании поверхностей отклика методами планирования эксперимента. Здесь целью служит определение или аппроксимация характеристик некоторой неизвестной поверхности отклика полиномом низкой степени. Заметим, что в модель входят все возможные члены второго порядка. Это целесообразно, потому что пропуск членов предполагает наличие информации о том, что не могут встретиться определенные типы поверхностей, которые немыслимы без пропущенных членов. Такого рода случаи не часты. Когда же подобная информация есть, обычно можно провести исследование на более строгай теоретической основе.

Пример анализа поверхности отклика второго порядка приведен в гл. 7.

Модели третьего порядка

1. Если то мы имеем модель третьего порядка с одним предиктором:

2. Если и установлено подходящее соответствие для (мы опускаем детали, так как разобранные выше примеры делают идею ясной), то модель (5.0.1) можно представить как модель третьего порядка с двумя предикторами:

Общую модель третьего порядка для факторов можно получить аналогично. Модели третьего порядка тоже применяются в работах по исследованию поверхностей отклика методами планирования эксперимента, хотя и значительно реже, чем модели второго порядка Отметим метод индексации -коэффициентов. На

первый взгляд он может показаться странным, однако он удобен, поскольку позволяет легко установить, с какими переменными X и в каких степенях связан данный коэффициент. Например, при будет коэффициент Аналогичные обозначения используются выше для моделей второго порядка, они являются стандартными в работах по анализу поверхностей отклика методами планирования эксперимента.

Продолжая процесс, проиллюстрированный выше, к уравнению (5.0.1) можно привести модели любых возможных порядков.

Преобразования

Если модель второго порядка не адекватна, то, может быть, подойдет модель третьего порядка. Однако вряд ли стоит механически добавлять в модель члены более высоких порядков. Часто оказывается продуктивным исследование возможностей каких-то иных преобразований предикторов, откликов или и тех, и других одновременно. То же замечание относится и к решению о переходе от первого порядка ко второму. Так, например, прямая, подобранная в координатах

от X, если она возможна, нередко предпочтительнее, чем квадратичная модель зависимости V от X, если, конечно, поведение остатков делает оба эти выбора работоспособными.