Временные тренды в данных

Во многих практических случаях временные тренды проявляются в откликах. Иногда тренд представляет собой единственный фактор, влияющий на отклик, а иногда он налагается на эффекты других предикторов. Вообще говоря, мы можем описать временной тренд с помощью одного или нескольких подходящим образом определенных фиктивных факторов. Соответствующие члены модели, отражающие эти фиктивные переменные, просто приписываются к модели для всех остальных предикторов, а затем оценивается вся модель аналогично тому, как показано в примере с блоковым фактором. Хотя наше обсуждение ниже сфокусировано непосредственно на временных трендах, следовало бы помнить, что любые другие параметры, относящиеся к решаемой задаче, как правило, можно оценивать точно так же.

Единственный временной тренд. Когда в данных представлен простой линейный тренд, для его учета достаточно ввести одну фиктивную переменную. Продемонстрируем это на примере.

Пример 5. Данные табл. 5.14 показывают паритетную цену в центах за фунт живого веса цыплят через равные промежутки времени. Две альтернативные фиктивные переменные, используемые для элиминирования линейного временного тренда, приведены в столбцах Годится любая из них, однако центрированный столбец X лучше, так как он ортогонален к единичному столбцу Х-матрицы. Подходящие модели в обоих случаях выражаются уравнениями:

и (так как

(Примечание. Так как здесь нечетно, величины все целые числа. Когда четно, мы можем применить замену чтобы избежать появления дробей. Например,

В случае квадратичного временного тренда придется добавлять к модели члены либо выражать такой тренд через ортогональные полиномы, описанные в параграфе 5.6. С трендами более высоких порядков надо обходиться таким же образом, используя члены более высоких порядков.

Таблица 5.14. Паритетная цена (центы) за фуит живого веса цыплят

В табл. 5.14 приведены данные, полученные через равные промежутки времени, поэтому и значения здесь тоже выбраны с равным шагом. А если бы данные оказались не равномерными во времени, то и пришлось бы выбирать соответственно. Так, например, если бы данные относились к январю 1955 г., февралю 1955 г., апрелю 1955 г., июню 1955 г., то для пришлось бы взять значения и т. д. Использование столбца в таком случае могло бы оказаться неудобным из-за возможного появления дробных значений. В таком случае пришлось бы либо воспользоваться множителем, превращающим все числа в целые, либо, если бы это оказалось невозможным, перейти к величинам где А было бы некоторым произвольным целым числом, близким к Правда, использование преобразования вряд ли даст какие-либо преимущества, если только не считать того, что числа, с которыми предстоит работать,

станут более удобными. Поскольку шаг не равный, приходится вычислять специальные ортогональные полиномы, если, конечно, решено, что ими стоит воспользоваться. Именно в силу этого ортогональные полиномы очень редко применяются при неравномерных данных.

Два временных тренда. Когда представлены два временных тренда, то фиктивная переменная должна быть выбрана для каждого из них. Эта задача может иметь два уровня сложности в зависимости от того, известно ли, какому тренду принадлежат данные, или же это не известно.

Рис. 5.6. Использование фиктивных переменных. Две линии, абсцисса точки пересечения известна

1. Когда известно, какие точки принадлежат каким трендам. Пусть, например, есть два временных тренда, причем оба линейные. Тогда мы можем выделить в этой ситуации еще два подкласса: (1а) когда об абсциссе точки пересечения двух линий можно предположить, что она соответствует определенному значению, в котором есть одно или несколько наблюдений, и (16) когда абсцисса точки пересечения этих двух линий не известна.

Пример 6. Равномерно расположенные данные, представленные на рис. 5.6, относятся к варианту (1а). Известно, что первые пять точек лежат (если пренебречь случайной ошибкой) на первой прямой, а последние пять точек (опять же если пренебречь случайной ошибкой) — на второй. Значит, пятая точка в этом случае оказывается общей для обеих прямых. Мы можем ввести две фиктивные переменные и 12 для этих двух прямых следующим образом. Положим обе фиктивные переменные равными нулю в известной точке пересечения, а именно в точке пятого наблюдения, из которой для первой прямой пойдет назад, а для второй прямой — вперед, причем каждая переменная будет обращаться в нуль там, где действует

другая. (Шаги здесь равные, поскольку и данные собраны с равным шагом. Если бы это было не так, то пришлось бы выбрать иные уровни для соответствующих переменных.) Итоговая матрица данных в предположении, что нет никаких других предикторных переменных, приведена в табл. 5.15. Если теперь мы подберем модель

то полученные оценки будут играть такие роли:

значение У в точке пересечения,

— угловой коэффициент прямой первого тренда,

угловой коэффициент прямой второго тренда.

Нормальные уравнения для приведенных данных имеют вид:

а их решение таково: как показано на рис. 5.6. Если бы в задаче играли роль и другие предикторы, то соответствующие члены надо было бы дописать в правой части уравнения (5.4.6).

Таблица 5.15. Фиктивные переменные для примера с двумя прямыми, абсцисса точки пересечения которых известна

Как бывает всегда с фиктивными переменными, такое их представление не единственно. Пример альтернативного представления показан в табл. 5.16, где новая) старая) Это представление даст точно такие же оценки угловых коэффициентов, что и предыдущее, но зато постоянный член соответствующий значению У, когда стал бы теперь свободным членом первого уравнения с абсциссой в точке 1969

Наличие временных трендов более высоких порядков привело бы к добавлению к модели членов более высоких порядков. За прямой линией следует квадратичная кривая, для которой, например, мы могли бы найти

Если сверх того мы пожелали бы, чтобы модель имела в общей точке непрерывную производную, то нам пришлось бы потребовать выполнения в точке пересечения равенства А это означает, что в пятой точке, где должно соблюдаться условие

Тогда мы должны положить скажем, в уравнении (5.4.8), а это сводит модель к виду

Пример 7. Данные с равным шагом на рис. 5.7 относятся к варианту (16). Здесь известно, что первые четыре точки лежат (если пренебречь случайной ошибкой) на первой прямой, а последние пять (снова без учета случайной ошибки) — на второй. Однако точка их пересечения не известна.

Чтобы обнаружить эту неизвестную точку, понадобится третья фиктивная переменная

Ее естественно положить равной нулю для всех точек первой прямой и соответственно единице для точек второй прямой, чтобы отразить скачок (положительный или отрицательный) от первой прямой ко второй. Фиктивные переменные выбираются точно так же, как это сделано в примере 6. В табл. 5.17 приведена соответствующая матрица данных. Если не включать в нее никаких дополнительных предикторов, то можно получить такую модель:

Параметр представляет собой шаг изменения, приводящий к эффекту наблюдения в пятой точке. Фактически это вертикальное расстояние, на котором в этой точке вторая прямая проходит выше первой. (Если вторая прямая лежит ниже первой, то коэффициент будет отрицательным.)

Рис. 5.7. Использование фиктивных переменных. Две линии, абсцисса точки пересечения не известна

Таблица 5.16. Альтернативный вариант фиктивной переменной для примера с двумя примыми, точка пересечении которых известна

Таблица 5.17. Фиктивные переменные для примера с двуми прямыми, точка пересечения которых не известна

Для данных из табл. 5.17 получаются следующие нормальные уравнения:

с таким решением:

(свободный член прямой 1 при

(угловой коэффициент прямой 1),

(угловой коэффициент прямой 2),

(расстояние по вертикали между прямыми 2 и 1 в пятой точке).

Вся ситуация графически представлена на рис. 5.7. Отрицательный знак коэффициента и тот факт, что указывают на смещение точки пересечения двух прямых влево от пятой точки.

Практически это произойдет тогда, когда станет равным 4,065. Эту точку можно обнаружить, если выписать обе прямые в шкале Первая прямая имеет вид

а вторая прямая запишется так:

т. е.

Взглянув на шкалы относительно шкалы на рис. 5.7, мы обнаружим, что при так что можно подставить в уравнение второй прямой, что сведет его к виду

Приравнивая правые части уравнений (5.4.12) и (5.4.15), получим, что соответствует точке пересечения.

2. Когда не известно, какие точки относятся к какому тренду. В предыдущем случае мы оценивали параметры составной модели с помощью линейного метода наименьших квадратов. Здесь же решение следовало бы получать, просматривая все возможные варианты разбиения точек между двумя прямыми, оценивая в каждом таком разбиении параметры линейным методом наименьших квадратов и вычисляя остаточные суммы квадратов. А затем можно выбрать такое разбиение вместе с набором оценок параметров, которое порождает наименьшее из всех значение остаточной суммы квадратов. (На практике обычно нет никакой необходимости просматривать каждое возможное разбиение точек, поскольку даже малые вычисления обычно показывают ту «танцплощадку», где и находится наилучшее

разбиение. Только этот ограниченный набор разбиений и надо сосчитать.) С другой стороны, эту задачу можно представить как задачу нелинейного оценивания и решать ее методами, обсуждаемыми в гл. 10. (При этом иногда надо проявлять бдительность, поскольку могут встретиться локальные минимумы.) В поисках дополнительной информации читатель может обратиться к литературе, где обсуждаются отрезки прямых и сплайны, которая приведена в конце настоящей монографии.