Стандартное отклонение

Мы показали, что подобранное уравнение регрессии имеет вид

где как так и подвержены ошибкам, которые будут влиять на Далее, если я? и константы и

то в случае некоррелированности при и при условии для всех имеем

Из этого следует, что замена влечет а замена влечет так что

т. е. некоррелированные случайные величины. Поэтому дисперсия предсказываемого среднего значения при заданном в зависимости от X есть

Отсюда

Следовательно, эта величина достигает минимума, когда и возрастает по мере того, как мы «удаляем» от X в любом направлении. Другими словами, чем больше разность между и средним значением X, тем больше ошибка, с которой мы будем предсказывать среднее значение для данного Это интуитивно хорошо понятно. Говоря несколько вольно, мы можем ожидать «наилучшее» предсказание в «центре» области наблюдений нашего X и не должны ожидать хорошего предсказания при удалении от «центра». Для значений X за пределами наших опытов, т. е. за областью наблюдений, мы должны ожидать тем худших предсказаний, чем дальше мы уходим от области наблюденных значений.

Пример (продолжение)

Если

т. е.

А если

Значит,

Соответственно, когда равна тоже

95 %-ные доверительные пределы для «истинного» среднего значения при данном определяются выражением откл. Ситуация иллюстрируется на рис. 1.8; две кривые по обе стороны от линии регрессии определяют -ные доверительные пределы и показывают, как меняются данные пределы при изменении Эти кривые — гиперболы.

Пределы можно интерпретировать следующим образом. Предположим, что повторные выборки величин имеют тот же самый объем и взяты при тех же фиксированных значениях X, которые использовались при построении приведенной выше линии. Тогда из всех

95 -ных доверительных интервалов, построенных для среднего значения и отвечающих данному значению X, скажем, будут содержать «истинное» значение среднего при Если сделано только одно предсказание скажем, при то вероятность того, что найденный для этой точки интервал будет содержать «истинное» среднее, равна 0,95.

Дисперсия и стандартное отклонение, показанные выше, относятся к предсказываемому среднему значению при данном

Рис. 1.8. 95 %-ные доверительные интервалы для «истинного» среднего значения

Так как фактические значения варьируют около «истинного» среднего значения с дисперсией (не зависимой от , предсказанное значение индивидуального наблюдения будет по-прежнему определяться величиной но с дисперсией

и с соответствующим значением оценки при подстановке вместо Доверительные пределы можно найти уже указанным способом, т. е. мы вычисляем 95%-ный доверительный интервал для нового наблюдения, который будет симметричен относительно и длина которого будет зависеть от оценки этой новой дисперсии:

где число степеней свободы, на котором основана оценка (равное здесь Доверительный интервал для среднего из новых наблюдений находится аналогично исходя из следующего.

Пусть есть среднее из новых наблюдений при може быть равно 1, как в предыдущем случае). Тогда

так что

откл. распределено как где число степеней свободы, на котором основана оценка Поэтому

так что мы можем построить доверительный интервал для относительно

Эти пределы, конечно, шире, чем для среднего значения при данном так как ожидается, что 95 % будущих наблюдений при или будущих средних из наблюдений (для лежат внутри них.

(Примечание. Для получения совместных доверительных кривых, пригодных для всей регрессионной функции, на всем ее протяжении, надо было бы заменить

(см., например: Miller R. G. Simultaneous Statistical Inference.- New York: McGraw-Hill, 1966, p. 110-116).

Доверительные пределы на практике строят редко. Однако сама идея важна, а подходящий доверительный интервал на основе любого значения У всегда можно найти численно с помощью общей алгебраической формулы при каком угодно числе значений X.)