Глава 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

В этой главе при решении задач статики используется уравнение Лапласа, представленное в конечно-разностной форме. Переход в уравнении Лапласа к конечно-разностным представлениям оказывается эффективным в тех случаях, когда возможности аналитического решения ограничены, в частности, при решении задач с нестандартной геометрией. Метод прост в реализации, и уже созданы программы для ЭВМ, с помощью которых можно выполнить предварительный расчет сложных цепей из линий, исследовать влияние такого эффекта, как подтравливание, возникающего при изготовлении планарных структур. Иногда требуется исследовать распределение заряда лишь в ограниченной области либо определить разность потенциалов только между двумя заданными точками. Получить решение при подобных условиях с использованием обычной конечно-разностной аппроксимации весьма сложно, так как при этом оказываются недопустимо велики затраты машинного времени и повышаются требования к ЭВМ. При детальном анализе обычно приходится работать с густыми сетками, что связано с повышением объема памяти и быстродействия ЭВМ. В данной главе рассматривается альтернативный подход, основанный на методе случайного блуждания, что позволяет найти решение уравнения Лапласа в отдельных точках

внутри заданной области линии передачи. Обсуждается также простая реализация более мощного численного метода, известного как метод моментов и применимого, в частности, при решении трехмерных задач.

3.1. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА

Как было показано в разд. 1.1, в линиях с модой ТЕМ или квази-ТЕМ погонная емкость не зависит от рабочей частоты. Поэтому волновое сопротивление любой такой линии можно найти, предварительно определив величину погонной емкости из решения соответствующей статической задачи.

Пусть линия передачи состоит из центрального проводника, находящегося под потенциалом и охватывающего его замкнутого внешнего проводника, находящегося под потенциалом земли. Форма поперечного сечения проводников произвольна. Если пространство между проводниками заполнено воздухом, то волновое сопротивление такой линии

где - погонная емкость, погонная индуктивность линии; - скорость света в вакууме. Отсюда

Как отмечалось выше, погонные индуктивности в линии, заполненной диэлектриком с относительной проницаемостью и в линии с воздушным заполнением равны. Тогда

где волновое сопротивление линии с диэлектрическим заполнением и С - погонная емкость этой же линии. Следовательно, волновое сопротивление линии передачи произвольной формы с диэлектрическим заполнением однозначно связано с погонными емкостями этой линии и линии без диэлектрика, т. е. волновое сопротивление можно полагать известным, если определены обе эти емкости. В свою очередь, погонные емкости выражаются через решения уравнения Лапласа.

Запишем разность потенциалов между двумя точками, расположенными на расстоянии друг от друга:

где векторы, характеризующие электрическое поле и расстояние в пространстве соответственно. В декартовой системе координат

где - единичные взаимно перпендикулярные векторы.

Расписывая скалярное произведение двух векторов в правой части (3.2), получаем

Так как функция координат то

Сравнение (3.3) и (3.4) показывает, что

т. е.

Вектор электрической индукции связан с вектором Е известным соотношением где Если индукция создается зарядом с объемной плотностью то в соответствии с законом Гаусса

а из (3.5) следует

Введем оператор

тогда равенства (3.5) и (3.6) примут вид

Так как из закона Гаусса то и при

В декартовых координатах

Уравнение (3.7), устанавливающее связь между потенциалом, созданным произвольно распределенными зарядами, и объемной плотности этих зарядов, известно как уравнение Пуассона.

В частном случае, когда в рассматриваемом объеме нет зарядов, например вне проводников линии передачи, уравнение (3.7) упрощается:

или

Уравнение (3.8) - уравнение Лапласа, которое и будет использовано для нахождения погонных емкостей, входящих в выражение (3.1).