3.2.3. ОДНОРОДНЫЙ ДИЭЛЕКТРИК. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ГРАНИЦЫ

Весьма важным моментом при разработке программ для решения конечно-разностных уравнений является учет влияния криволинейной границы, на которой задаются значения потенциала. Это не означает, что необходимо переходить к специальным сеткам внутри области, с тем чтобы включить в рассмотрение граничные точки.

Рассмотрим отдельно малый элемент криволинейной границы, изображенной на рис. 3.5, б. Из разложения в ряд Тейлора следует: для узла 1

Рис. 3.5. Равномерная сетка вблизи криволинейной границы (а) и элементарный участок сетки (б)

для узла 3

Следовательно,

Допуская некоторую погрешность в расчете, снова пренебрегаем слагаемыми более высокого порядка. Тогда

Аналогично по координате у

Из этих двух соотношений непосредственно следует конечно-разностная аппроксимация. Отметим, что при эти равенства переходят в полученные ранее для границ, параллельных осям декартовой системы координат.

Все столь подробно обсуждаемые здесь выражения практически пригодны для анализа полей лишь в областях, удобных для описания в декартовой (прямоугольной) системе координат. В частности, их целесообразно использовать при расчете полосковых линий с прямолинейными границами. При переходе к коаксиальным структурам прямоугольная система координат уже не столь удобна. Например, для коаксиального кабеля гораздо естественнее цилиндрическая система координат, поскольку его геометрия хорошо вписывается в эту систему координат.