Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3.2.6. МЕТОДЫ, УСКОРЯЮЩИЕ РЕШБНИЕ СИСТЕМ ИЗ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙВ подразд. 3.2.1 на простом численном примере была проиллюстрирована итерационная процедура решения системы конечно-разностных уравнений, позволившая определить при заданных граничных условиях значения потенциала во внутренних узлах двухмерной области. Как следует из этого примера, при вычислениях на
Конечно, в это уравнение вносится соответствующая корректировка при слоистом диэлектрике и криволинейной границе раздела. В приведенном выше уравнении. R - параметр релаксации. Отметим, что при При
Рис. 3.9. Сходимость конечно-разностного метода Хотя не существует единого оптимального значения множителя Популярность метода релаксации весьма велика, поскольку он относительно просто реализуется на ЭВМ. Однако всегда следует помнить о существовании других методов и при большом числе узлов необходимо быть готовым к применению альтернативных методов решения конечно-разностных уравнений. Для получения результата с требуемой точностью объем вычислений при большом числе узлов оказывается весьма значительным. Альтернативой методам простой итерации и релаксации при решении конечно-разностных уравнений может служить матричный подход, описываемый ниже. Обратимся еще раз к структуре, изображенной на рис. 3.3. Для каждого узла запишем конечно-разностное уравнение, их всего шесть для данной задачи:
Перепишем эти шесть уравнений так, чтобы потенциалы в граничных узлах с индексами от а до
Рис. 3.10. Пример решения конечно-разностных уравнений методом релаксации
На первый взгляд такая запись более громоздка, но в матричной форме приобретает более симметричный вид:
или в более компактной форме
где X - вектор-столбец, состоящий из искомых значений потенциала; В - вектор-столбец, состоящий из известных значений потенциала на границе. Матрица А, как нетрудно заметить, - всегда квадратная порядка конечно-разностных уравнений. Для решения таких систем с разреженной матрицей разработаны специальные методы. Как найти решение задачи? Поскольку все элементы матриц
следует
где I - единичная матрица. Окончательно получаем
Благодаря тому, что матрица А разрежена и положение большинства ее нулевых элементов фиксировано, возможна разработка сложных, но эффективных вычислительных алгоритмов перехода от матрицы А к матрице Однако матричному методу присущи некоторые недостатки, связанные с эффективностью реализации на ЭВМ алгоритмов обращения матрицы. Эти алгоритмы достаточно сложны. Основная сложность состоит в том, что элементы матрицы А упаковываются так, чтобы сэкономить память ЭВМ и свести к минимуму связанное с этим увеличение затрат времени на вычисления. Соответственно необходимы специальные и достаточно сложные подпрограммы, на составление которых каждым отдельным программистом затрачивается весьма значительное время. Проще обрати: ться к профессионально отработанным алгоритмам и программам, что несколько ограничивает применимость методов, основанных на обращении матриц, поскольку их реализация возможна лишь на тех ЭВМ, где эти программы включены в библиотеку пользователя [13].
|
1 |
Оглавление
|