Главная > СВЧ цепи. Анализ и автоматизированное проектирование
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3.2.6. МЕТОДЫ, УСКОРЯЮЩИЕ РЕШБНИЕ СИСТЕМ ИЗ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

В подразд. 3.2.1 на простом численном примере была проиллюстрирована итерационная процедура решения системы конечно-разностных уравнений, позволившая определить при заданных граничных условиях значения потенциала во внутренних узлах двухмерной области. Как следует из этого примера, при вычислениях на шаге итерации никак не учитывались значения потенциала, найденные на шаге. Поэтому целесообразно перейти от классического итерационного метода решения конечно-разностных уравнений, описанного в подразд. 3.2.1, к более быстрому, опираясь на модификацию конечно-разностного уравнения (3.10). В однородной двухмерной среде модифицированная форма уравнения (3.10) имеет вид

Конечно, в это уравнение вносится соответствующая корректировка при слоистом диэлектрике и криволинейной границе раздела. В приведенном выше уравнении. R - параметр релаксации. Отметим, что при модифицированное конечно-разностное уравнение сводится к (3.10). Как видно из графиков на рис. 3.9, наличие обратной связи, обусловленное параметром позволяет заметно повысить сходимость итерационной процедуры, используемой при решении конечно-разностных уравнений. Величина этой обратной связи зависит от достигнутой погрешности.

При говорят о методе нижней релаксации, а при о методе верхней релаксации. Этот метод известен как поточечная релаксация, и ему отдается предпочтение перед простым итерационным методом решения конечно-разностных уравнений (ср. рис. 3.10 и 3.3).

Рис. 3.9. Сходимость конечно-разностного метода

Хотя не существует единого оптимального значения множителя для всех классов задач, описываемых конечно-разностными уравнениями, обычно при достигается достаточно быстрая сходимость, что приводит к эффективной численной реализации для широкого круга проблем.

Популярность метода релаксации весьма велика, поскольку он относительно просто реализуется на ЭВМ. Однако всегда следует помнить о существовании других методов и при большом числе узлов необходимо быть готовым к применению альтернативных методов решения конечно-разностных уравнений. Для получения результата с требуемой точностью объем вычислений при большом числе узлов оказывается весьма значительным. Альтернативой методам простой итерации и релаксации при решении конечно-разностных уравнений может служить матричный подход, описываемый ниже.

Обратимся еще раз к структуре, изображенной на рис. 3.3. Для каждого узла запишем конечно-разностное уравнение, их всего шесть для данной задачи:

Перепишем эти шесть уравнений так, чтобы потенциалы в граничных узлах с индексами от а до оказались в правой части, и сохраним порядок, в каком они появились:

Рис. 3.10. Пример решения конечно-разностных уравнений методом релаксации

На первый взгляд такая запись более громоздка, но в матричной форме приобретает более симметричный вид:

или в более компактной форме

где X - вектор-столбец, состоящий из искомых значений потенциала; В - вектор-столбец, состоящий из известных значений потенциала на границе. Матрица А, как нетрудно заметить, - всегда квадратная порядка где число внутренних узлов в области, равное шести в рассматриваемой задаче. Отметим также, что матрица симметрична относительно главной диагонали. Обусловлено это в данном примере однородностью диэлектрического заполнения, т. е. структура конечно-разностных уравнений одна и та же для всей области. Заметим далее, что большинство элементов в матрице нулевые. В данном примере их около 40 % от общего числа. Подобная особенность характерна, как правило, для большинства систем высокого порядка из

конечно-разностных уравнений. Для решения таких систем с разреженной матрицей разработаны специальные методы.

Как найти решение задачи? Поскольку все элементы матриц известны, а искомыми являются элементы вектор-столбца X, содержащего Искомые значения потенциала внутри области, достаточно слева умножить матрицу В на матрицу, обратную А. При этом из равенства

следует

где I - единичная матрица. Окончательно получаем

Благодаря тому, что матрица А разрежена и положение большинства ее нулевых элементов фиксировано, возможна разработка сложных, но эффективных вычислительных алгоритмов перехода от матрицы А к матрице . В сущности, это означает, что при наличии объема памяти ЭВМ, достаточного для хранения обратной матрицы А и выполнения самой процедуры обращения, определение узловых потенциалов этим методом может быть выполнено существенно быстрее, чем методом релаксации либо итерации. Основные погрешности, возникающие в данном методе: во-первых, процедура округления из-за ограниченной длины слова в ЭВМ и, во-вторых, ошибки, обусловленные самой конечно-разностной аппроксимацией уравнений в частных производных. Погрешности, связанные с выбором числа итерационных циклов и возникающие в методах релаксации или итерационном, здесь отсутствуют.

Однако матричному методу присущи некоторые недостатки, связанные с эффективностью реализации на ЭВМ алгоритмов обращения матрицы. Эти алгоритмы достаточно сложны. Основная сложность состоит в том, что элементы матрицы А упаковываются так, чтобы сэкономить память ЭВМ и свести к минимуму связанное с этим увеличение затрат времени на вычисления. Соответственно необходимы специальные и достаточно сложные подпрограммы, на составление которых каждым отдельным программистом затрачивается весьма значительное время. Проще обрати: ться к профессионально отработанным алгоритмам и программам, что несколько ограничивает применимость методов, основанных на обращении матриц, поскольку их реализация возможна лишь на тех ЭВМ, где эти программы включены в библиотеку пользователя [13].

1
Оглавление
email@scask.ru