3.2.5 СЛОИСТЫЙ ДИЭЛЕКТРИК

При многослойном заполении, когда линия передачи содержит более одной диэлектрической среды, необходимо соответствующим образом преобразовать уравнение (3.10), описывающее распределение потенциала в пространстве. Простейший вариант такого заполнения, допускающий введение равномерной квадратной сетки, изображен на рис. 3.7. Слоистая среда состоит из двух диэлектриков с плоской границей раздела между ними. С подобным вариантом заполнения мы столкнулись в микрополосковой линии. Сетку построим так, чтобы границы части ячеек сетки совпали с границей раздела между диэлектриками. Пусть шаг сетки равен и отсчет номеров узлов ведется от узла в центре, которому присвоим, например, индексы (рис. 3.7). Выпишем уравнение Лапласа при однородном заполнении:

Чтобы вывести более общее уравнение, справедливое при неоднородном заполнении, обратимся к дифференциальной форме закона Гаусса, рассмотренного в разд. 3.1:

Так как в пространстве вне проводников нет свободных зарядов, то и

т. е. в двухмерном случае для прямоугольных координат

Из этого равенства и вытекают конечно-разностные уравнения, связывающие поля по обе стороны от границ. Как было показано в разд. 3.1, . Следовательно, в полупространстве над границей раздела, где составляющая вектора индукции, параллельная координате у,

Рис. 3.7. Двухслойный диэлектрик

под границей, где

При записи этих соотношений использовались конечно-разностные выражения для первых производных, полученные в подразд. 3.2.1. Скорость изменения нормальной к границе составляющей электрической индукции при переходе через границу раздела

Аналогичное выражение можно записать и для производной от составляющей в направлении координаты однако не ясно, какое значение приписать в узлах Так как на данном этапе выяснить это пока трудно, положим, что Тогда

Складавая равенства (3.15) и (3.16) и приравнивая результат к нулю, получаем

т. е. значение потенциала в точках, расположенных на границе раздела,

Подчеркнем, что это уравнение используется только для точек на границе, а выше или ниже границы - уравнение Перейдем к определению величины полагая, что вклад в величину узловых потенциалов вдоль оси у одинаков, т. е.

откуда

Прежде чем обратиться к уравнению (3.17), необходимо на каждом шаге итерации из (3.18) определить а затем подставить его в уравнение (3.17), которое используется уже обычным образом. Оригинальный подход к конечно-разностной аппроксимации уравнения Лапласа в областях со слоистым диэлектриком предложен в [6]. Обратимся к структуре из четырех ячеек при сетке с пятью

Рис. 3.8. Диэлектрик со сложной структурой

узлами, изображенной на рис. 3.8. В каждую ячейку входит слоистая среда из двух диэлектриков, т. е. всего восемь диэлектриков с различной проницаемостью. Используя тот факт, что уравнение Лапласа, для каждой из восьми подобластей можно представить в одной из форм и суммируя восемь составляющих вектора получаем соотношение

Ценность данной формулы состоит в том, что с ее помощью упрощается решение задач для многослойного диэлектрика при числе слоев до восьми. В частности, воспользуемся ею для определения величины потенциала на границе раздела в микрополосковой линии, где диэлектрическое заполнение состоит всего из двух плоских слоев. Тогда в соответствии с рис. и а узлы располагаются на границе раздела, как и на рис. 3.7. Из (3.19) следует

т. е.

Если положить то

Из этого равенства, как и из (3.17), определяется значение потенциала для центрального узла, расположенного на плоской границе раздела двух диэлектриков в пятиточечной схеме на равномерной сетке.

Если в (3.18) учесть, что в соседних узлах сетки значения потенциала отличаются весьма незначительно, т. е.

В этом приближении выражения (3.17) и полученное на основании работы [6] совпадают. Тем самым подтверждаются сделанные при выводе (3.17) предположения.