3.2.4. ОДНОРОДНЫЙ ДИЭЛЕКТРИК. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ

Прежде чем приступать к конечно-разностной аппроксимации уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат, опишем эту систему координат и уравнение Лапласа в ней. На рис. 3.6 изображен отрезок кругового цилиндра и указаны координаты точек на его поверхности, характеризуемые значениями трех величин: Уравнение Лапласа в этих координатах имеет вид

При записи уравнения учитывалась угловая симметрия, т. е. предполагалось, что потенциал от угла не зависит (рис. 3.6, б). Воспользуемся выражениями, полученными в подразд. 3.2.1 для равномерной сетки с пятью узлами:

Рис. 3.6. Сетка в цилиндрической системе координат: (а) цилиндрическая система координат; (б) положение узлов

Второе слагаемое в правой части уравнения Лапласа содержит слагаемое с множителем Если узловая точка приближается к оси симметрии, т. е. то произведение может оказаться слишком большим, что в высшей степени нежелательно при численных расчетах. Чтобы обойти эту трудность, воспользуемся известным из математики и весьма изящным правилом Лопиталя, в соответствии с которым

Положим тогда согласно этому правилу

Следовательно, на оси симметрии конечно-разностное уравнение в цилиндрических координатах принимает вид

Так как в этом выражении все точки лежат на оси симметрии, возможны дополнительные упрощения. Сдвинем сетку, изображенную на рис. 3.6, б, так, чтобы узлы 0, 2 и 4 лежали на оси z. Тогда ввиду угловой симметрии Объединяя всю информацию о конечно-разностной аппроксимации уравнения Лапласа в цилиндрических

координатах, получаем

Отметим, что при больших значениях конечно-разностная аппроксимация уравнения Лапласа в цилиндрических координатах сводится к простой пятиточечной аппроксимации в декартовых координатах.

Во всех преобразованиях, выполненных выше, предполагалось, что диэлектрик однородный. Что же делать, если диэлектрическое заполнение слоистое, т. е. состоит из нескольких диэлектриков? Рассмотрим подробнее этот случай.