4.6.2. ABCD-МАТРИЦЫ ПРОСТЕЙШИХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Рассматривая процессы в линиях передачи, можно выделить пять следующих элементарных четырехполюсников:

четырехполюсник, состоящий из последовательно включенного в линию сосредоточенного сопротивления;

четырехполюсник, состоящий из параллельно включенной в линию сосредоточенной проводимости;

Т-образный четырехполюсник;

П-образный четырехполюсник;

отрезок линии передачи.

Рассмотрим каждый из этих четырехполюсников.

Четырехполюсник, состоящий из последовательно включенного в линию сосредоточенного сопротивления (рис. 4.39). Как следует из рисунка, величины связаны соотношениями

откуда элементы матрицы:

Четырехполюсник, состоящий из параллельно включенной в линию сосредоточенной проводимости (рис. 4.40). Как следует из рисунка, в этом случае или поэтому

Рис. 4.39. Цепь с последовательным сопротивлением

Рис. 4.40. Цепь с параллельным сопротивлением

Отметим, что ABCD-матрицу для рассматриваемого четырехполюсника можно непосредственно получить из ABCD-матрицы для предыдущего четырехполюсника, для чего последнюю следует транспонировать, а затем в полученной матрице заменить на

Несимметричный Т-образный четырехполюсник (рис. 4.41). Из закона Кирхгофа для контура с током следует

откуда

Аналогично для контура с током 12

Подставляя в последнее равенство ранее выписанное равенство для получаем:

откуда

Из сравнения этого выражения с (4.39) имеем

Для определения перепишем выражение, полученное для контура с током в следующем виде:

откуда

Из сравнения этого выражения с (4.40) находим

Для симметричного -образного четырехполюсника матрица ABCD имеет вид

Несимметричный П-образный четырехполюсник (рис. 4.42). Элементы ABCD-матрицы находятся либо из законов Кирхгофа, либо путем транспонирования ABCD-матрицы несимметричного Т-образного четырехполюсника. Пусть

Рис. 4.41. Несимметричный Т-образный четырехполюсник

Рис. 4.42. Несимметричный П-образный четырехполюсник

тогда ABCD-матрица имеет вид

Отрезок линии передачи (рис. 4.43). В разд. 1.3 было показано, что отрезок линии с потерями можно представить в виде эквивалентного симметричного Т-образного четырехполюсника (рис. 4.41), для которого

Подставляя эти значения в выражения для элементов АВСDО-матрицы симметричного Т-образного четырехполюсника, получаем

В разд. 1.3 в случае эквивалентной П-образной цепи отрезка линии получена следующая формула:

Значение элемента В матрицы ABCD отрезка линии передачи равно величине симметричной П-образной эквивалентной цепи:

Следовательно, все элементы -матрицы отрезка линии найдены.

Выражения для элементов -матрицы отрезка линии без потерь получим из выше приведенных формул, заменив в них гиперболические функции на соответствующие круговые. В результате матрица будет иметь вид

Рис. 4.43. Отрезок линии передачи

Численные значения элементов матриц приведенных выше, зависят от частоты, кроме случая, когда четырехполюсник состоит из одних резисторов. Поэтому при анализе цепей диапазоне частот элементы любой ABCD-матрицы должны вычисляться на каждой частоте. Реально частотная характеристика рассчитывается лишь на дискретных частотах из заданного диапазона.

Элементы матрицы ABCD симметричных четырехполюсников всегда равны. Элементы ABCD-матрицы взаимных четырехполюсников (т. е. таких, электрические характеристики которых не изменяются при изменении направления передачи энергии через них) удовлетворяют равенству Последнее равенство обычно используют для проверки правильности вычислений элементов ABCD-матрицы взаимных четырехполюсников; это особенно важно, если величины этих элементов или очень велики, или чрезвычайно малы, что может приводить к эффекту потери порядка.

Пример 4.21. Показать, что отрезок линии передачи относится к взаимным четырехполюсникам.

Решение

Для взаимных четырехполюсников

Подставляя в это равенство выражения для элементов -матрицы отрезка линии, получаем

или

Покажем, что это равенство является тождеством. Выразим гиперболические функции в обеих частях равенства через показательные:

Возводя выражения в круглых скобках в квадрат и умножая обе части равенства на 4, находим

откуда

что и требовалось доказать, т. е. отрезок линии передачи является взаимным четырехполюсником.

Если вычислить на заданной частоте ABCD-матрицы каждого элемента, входящего в состав каскадной цепи, то ABCD-матрицу всей цепи на этой частоте, как отмечалось выше, можно найти путем перемножения матриц отдельных элементов. По известной ABCD-матрице можно рассчитать входное сопротивление нагруженного четырехполюсника по каждому из его входов.

Обратимся к рис. 4.44, где через обозначено входное сопротивление четырехполюсника со стороны входа 1, нагруженного на а Через входное сопротивление четырехполюсника со стороны входа 2, нагруженного на Выражение для получим, разделив (4.39) на (4.40):

где сопротивление нагрузки

Рис. 4.44. Нагруженный четырехполюсник

Поскольку выразим из (4.39) и через Из равенств

и

находим

откуда следует, что

Аналогично, записывая из (4.39) и получаем

откуда

Поэтому

где

Теперь найдем с помощью (4.41) и (4.42) коэффициент передачи по напряжению четырехполюсника на рис. 4.45. Указанный коэффициент часто используется при расчете фильтрующих цепей.

Рис. 4.45. Обозначения для вычисления коэффициента передачи по напряжению нагруженного четырехполюсника

Для входной цепи четырехполюсника (рис. 4.45)

для выходной цепи

Найдем отношение

где

и

Подставляя эти выражения в формулу для коэффициента передачи по напряжению, получаем

Окончательно

Формулы (4.41) - (4.43) позволяют выполнить полный анализ цепи. Отметим, что в общем случае элементы ABCD-матрицы четырехполюсника комплексны.

С помощью (4.43) определим потери, вносимые цепью между генератором и нагрузкой, как отношение мощностей где мощность, поступающая на вход, а мощность, передаваемая в нагрузку. Известно, что максимальная мощность, которую отдает генератор,

а мощность, поступающая через четырехполюсник в нагрузку

где определяется из (4.39).

Когда вся мощность со входа четырехполюсника поступает в нагрузку, Вносимое четырехполюсником затухание (обычно обозначается буквой выраженное в децибелах, вычисляется по формуле

Окончательно

Итак, описание элементов цепей с помощью ABCD-матриц - эффективный и универсальный метод анализа цепей, позволяющий за один цикл вычислений рассчитать входное сопротивление, вносимые потери и коэффициент передачи. Эффективность этого метода особенно ощутима при разработке больших анализирующих программ. Как правило, анализирующие части таких программ содержат ряд подпрограмм для расчета ABCD-матриц элементов цепей.

Программа DEMON [4], составленная на языке Фортран, явилась одной из первых попыток разработки таких программ. Она содержит подпрограммы как для преобразования любой матрицы, описывающей четырехполюсник, и т. д., в ABCD-матрицу и обратно, так и для вычисления ABCD-матриц, широко применяемых на практике базовых элементов. Поэтому пользователь при разработке собственных программ может без особых затруднений включать в них указанную программу.