4.6.3. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ

На частотах, скажем, ниже измерение напряжения и тока не представляет труда; поэтому любая из шести упоминавшихся в подразд. 4.6.1 матриц однозначно описывает элементы цепи. На более высоких частотах, когда параметры элементов схем (определяют экспериментально, удобнее матрица рассеяния. Необходимость экспериментального измерения параметров на высоких частотах обусловлена как наличием паразитных связей между элементами и корпусом устройства, приводящих к изменению индуктивности и емкости элемента, так и присутствием неоднородностей в линии передачи, которые влияют на параметры элементов. Заранее учесть подобное влияние практически невозможно; поэтому приходится измерять параметры некоторых или всех элементов цепи.

Традиционные методы измерения сопротивления по напряжению и току на высоких частотах неприменимы либо невозможны из-за отсутствия соответствующего измерительного оборудования. Для экспериментального определения элементов ABCD-матрицы четырехполюсника необходимо иметь ряд калиброванных отрезков, прецизионные короткозамыкатели, согласованные нагрузки и т. д. Кроме того, на высоких частотах из-за влияния поверхностного эффекта, краевых емкостей, качества соединений необходимые параметры калиброванных элементов удается обеспечить лишь в весьма узкой полосе частот - порядка нескольких процентов от центральной частоты. Следует иметь в виду, что подключение к устройству, содержащему активные элементы, например диоды или транзисторы, короткозамкнутых или разомкнутых калиброванных отрезков может вызвать паразитную генерацию, что сделает измерения просто невозможными. Поэтому на высоких частотах при описании элементов цепей предпочтение отдают не напряжению и току, а падающим и отраженным волнам, что естественно приводит к матрице рассеяния или -матрице.

Начнем с двухполюсника, подключенного к линии передачи, как показано на рис. 4.46. Напряжение генератора согласованного с линией, имеющей волновое сопротивление будет создавать в линии падающую волну. Часть энергии, переносимой этой волной, поглощается двухполюсником, а оставшаяся часть отражается от его входа, создавая отраженную волну в линии. Поскольку генератор согласован с линией, энергия, переносимая отраженной волной, рассеивается в генераторе.

Введем нормированные амплитуды напряжения для падающей и отраженной волн в линии:

Рис. 4.46. -параметры двухполюсников

что позволяет определять параметры -матрицы, описывающей четырехполюсник. Размерность нормированных амплитуд так как:

Мощность, переносимая падающей волной

Мощность, переносимая отраженной волной

Такое нормирование амплитуд удобно тем, что на частотах от до и выше сравнительно просто измеряется мощность, переносимая волнами.

Определим коэффициент отражения на входе двухполюсника как отношение

где единственный элемент матрицы рассеяния для рассматриваемого двухполюсника.

Теперь рассмотрим четырехполюсник, включенный в разрыв между двумя отрезками линии передачи (рис. 4.47). Сигнал от генератора, согласованного с первой линией с волновым сопротивлением распространяется в виде падающей волны с нормированной амплитудой в направлении первого входа четырехполюсника. Часть энергии падающей волны проходит четырехполюсник и распространяется во второй линии в виде отраженной волны. Часть энергии падающей волны отражается от первого входа четырехполюсника и распространяется в первой линии в виде отраженной волны. Аналогично часть энергии падающей волны во второй линии

Рис. 4.47. -параметры четырехполюсника

проходит четырехполюсник и создает еще одну отраженную волну в первой линии, а часть ее энергии отражается от второго входа четырехполюсника и создает еще одну отраженную волну во второй линии. Если нагрузка, подключенная к выходу второй линии, не согласована с ней, то наблюдается явление многократного прохождения и отражения волн в четырехполюснике, до тех пор пока переносимая этими волнами энергия не будет полностью рассеяна.

Запишем нормированные амплитуды падающей и отраженной волн во второй линии в виде

Соотношениия между амплитудами отраженных и падающих волн на входах четырехполюсника:

или в матричной форме

Покажем, как можно определить элементы матрицы рассеяния.

Чтобы найти величину коэффициент отражения от первого входа четырехполюсника, подключим ко второму входу четырехполюсника согласованную нагрузку; при этом Из (4.45) имеем

откуда

При тех же условиях из (4.46) находим коэффициент передачи из плеча 1 в плечо 2:

откуда

Заметим, что определяет вносимое четырехполюсником затухание, если он пассивный, или усиление, если он содержит активные элементы, т. е. усилитель.

Если к первому входу четырехполюсника подключить согласованную нагрузку, т.е. то определим коэффициент отражения от второго входа:

и коэффициент передачи из второго плеча в первое:

На практике нередко при проведении измерений элементов матрицы рассеяния некоторых четырехполюсников бывает затруднительно, а иногда и невозможно подключить измерительную аппаратуру непосредственно к измеряемому устройству. Как правило, между измеряемым устройством и измерительной аппаратурой существуют отрезки линий передачи. Поэтому матрица рассеяния измеряется для устройства, состоящего из четырехполюсника, ко входу и выходу которого подключены отрезки линии передачи разной электрической длийы (рис. 4.48).

Назовем преобразованной матрицей рассеяния матрицу, элементы которой измерены в плоскостях (рис. 4.48). Поскольку падающая волна проходит дополнительное расстояние а прошедшая через четырехполюсник волна проходит дополнительное расстояние связь между измеряемым коэффициентом отражения в плоскости А и коэффициентом отражения от первого входа четырехполюсника записывается в виде

а связь между коэффициентами передачи в виде

Аналогичные формулы связывают величины что позволяет записать матрицу

и представить ее в виде следующего произведения:

т. е.

откуда

Рис. 4.48. Четырехполюсник с отрезками линии передачи на входе и выходе

т. е. искомая матрица определяется через матрицу путем умножения последней слева и справа на матрицу, обратную Т.

Отметим, что возможность измерять матрицу и затем трансформировать плоскости отсчета, как было показано выше, имеет весьма важное значение, поскольку большой класс проектируемых на практике устройств на основе линий передачи составляют схемы, состоящие одновременно из элементов, параметры которых определяются либо аналитически, либо с помощью численных вычислений или экспериментальных измерений.

В вычислительные программы, предназначенные для анализа цепей с помощью ABCD-матриц, следует включить подпрограммы, осуществляющие переход от -матриц к ABCD-матрицам и обратно. Соответствующие формулы приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1 Формулы перехода между и ABCD-матрицами

Связь между падающими и отраженными волнами в цепи, состоящей из каскадно соединенных элементов, можно изобразить графически. Это дает разработчику более полное и наглядное предствление об анализируемой цепи. Такое графическое изображение получило название ориентированного графа. Метод позволяет учитывать многократные отражения, возникающие в каскадно соединенной цепи.

Метод анализа с помощью ориентированных графов основан на графическом представлении соотношений, содержащих -параметры. Ориентированный граф имеет вид цепи, узлы которой соответствуют независимым и зависимым переменным Узлы соединяются между собой с помощью ветвей, коэффициентами передачи которых являются элементы матрицы рассеяния. Наконец, величина сигнала в каждом узле определяется только входящими в него ветвями.

Применим указанные выше правила к равенствам (4.45) и (4.46), чтобы получить

Рис. 4.49. Ориентированный граф, соответствующий (4.45) (а), (4.46) (б) и полный граф четырехполюсника (в)

ориентированный граф для четырехполюсника (рис. 4.49). Построив отдельно графы для каждого из этих равенств (рис. 4.49, а, б) и совместив их друг с другом, приходим к графу для четырехполюсника, изображенному на рис. 4.49, в.

Как следует из рис. 4.49, в, отраженная волна на втором входе четырехполюсника состоит из двух частей: одна образуется за счет частичного прохождения падающей волны через четырехполюсник, а вторая - за счет частичного отражения падающей волны на втором входе четырехполюсника. Аналогично образуется отраженная волна на первом входе четырехполюсника

На рис. 4.50 показан ориентированный граф четырехполюсника, ко входу которого подключен генератор с внутренним сопротивлением а к выходу - нагрузка с коэффициентом отражения Мощность от генератора поступает на вход четырехполюсника и преобразуется в соответствии с графом на рис. 4.49, в. Однако часть мощности отраженной от четырехполюсника волны из-за рассогласования между генератором и входом четырехполюсника, характеризуемого Гген, будет снова передаваться падающей волне. Поэтому в графе появляется дополнительная ветвь с коэффициентом передачи Гген (рис. 4.50, б), т. е. во входной цепи четырехполюсника будут происходить многократные отражения. В выходной цепи рассогласование между выходом четырехполюсника и нагрузкой, характеризуемое величиной приводит к появлению дополнительной ветви в графе с коэффициентом передачи т. е. в выходной цепи также появляются многократные отражения.

Определение основных характеристик цепи по ее ориентированному графу легко выполнить с помощью формулы Мезона. Этот метод особенно эффективен при исследовании схем с активными элементами, когда требуется находить коэффициент усиления по напряжению или по мощности [6]. Однако подобное исследование выходит за рамки данной книги.

Рассмотрим на простом примере методику аналитического определения коэффициента отражения в цепи, состоящей из четырехполюсника с известной -матрицей, ко входу и выходу которого подключены отрезки линий передачи разной электрической длины (см. рис. 4.48). Коэффициент отражения на входе цепи связан с коэффициентом отражения от входа четырехполюсника равенством

Так как то другой стороны, из (4.46)

Приравнивая левые части последних равенств, получаем

Рис. 4.50. Схема подключения четырехполюсника (а) и его ориентированный граф (б)

Поскольку подставив из (4.45), запишем

Тогда после подстановки в это равенство полученного выше выражения для имеем

Следовательно, коэффициент отражения для рассматриваемой цепи

После аналогичных преобразований запишем коэффициент отражения на выходе:

Пусть и к зажимам четырехполюсника подключены согласованные с ним генератор и нагрузка, т. е. Тогда, как и следовало ожидать,

По формуле (4.48) проводится расчет частотной зависимости цепи, состоящей из каскадного соединения отрезков линии передачи. Отметим, что указанный расчет может быть выполнен с помощью программы CASCADE, в которой реализован иной метод.

На рис. 4.51, а изображена конструкция центрального проводника в фильтре

Рис. 4.51. Анализ каскадного соединения отрезков линии с помощью графа: а) конструкция из отрезков полосковой линии; б) эквивалентная схема; в) ориентированный граф

нижних частот, реализованном на базе полосковой линии передачи. Фильтр состоит из каскадно соединенных отрезков с высоким (узкие полоски) и низким (широкие полоски) волновым сопротивлением. Изображенная на рис. эквивалентная схема состоит из каскадно соединенных отрезков линии передачи с произвольными значениями волнового сопротивления, потерь, длины волны и фазового сдвига. В месте стыка отрезка с из-за скачкообразного изменения волнового сопротивления происходит отражение распространяющейся волны. Обозначим коэффициент отражения от этого стыка для волны, распространяющейся в сторону нагрузки, через а для волны, распространяющейся в сторону генератора, через Пренебрегая реактивностью неоднородностей в месте стыка, которая обсуждается в следующей главе, запишем

а коэффициенты передачи соответствующих волн через стык

Обратившись к рис. 4.51, в, где изображен граф рассматриваемой цепи, можно заметить, что каскадно соединенные нагрузка отрезок и место его стыка с отрезком являются эквивалентной нагрузкой с коэффициентом отражения для отрезка. Затем, если задано значение вся процедура повторяется для каждого последующего отрезка. С помощью (4.48) запишем аналитическое выражение для Г

или

По известным длине и электрическим параметрам каждого отрезка, а также коэффициенту отражения от нагрузки, переходя от и т. д., по (4.50) можно выполнить необходимый анализ цепи, т. е. последовательно рассчитать коэффициенты отражения на входе каждого отрезка, пока не будет определен коэффициент отражения на входе всей схемы. С использованием полученных данных можно рассчитать величину мощности, отраженной от цепи и поглощенной цепью. Описанная процедура реализована в программе позволяющей выполнять анализ цепей, состоящих из последовательно соединенных отрезков линии передачи.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)