3.2. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

Переход в дифференциальных уравнениях к конечно-разностной аппроксимации позволяет получить решение с помощью итерационной процедуры на ЭВМ. Если этим методом решается уравнение Лапласа для конкретной линии передачи, то задача формулируется следующим образом: найти решение уравнения в частных производных для двух- либо трехмерного потенциала, удовлетворяющее заранее заданным граничным условиям. Когда распределение потенциала найдено, по нему с

Рис. 3.1. Двухмерная сетка с равномерным шагом

помощью (3.5) находится структура электрического поля, а затем - и емкость линии. Далее уже без особых трудностей определяются эффективная диэлектрическая проницаемость и волновое сопротивление линии.

3.2.1. ОДНОРОДНЫЙ ДИЭЛЕКТРИК. РАВНОМЕРНЫЕ СЕТКИ

Первая проблема, с которой приходится сталкиваться при реализации конечно-разностного метода, - это вывод конечно-разностных уравнений в интересующей нас области из соответствующего дифференциального уравнения в частных производных. В случае, когда для анализа линии передачи используется уравнение Лапласа, распределение потенциала ищется в ограниченной области, которую разбивают линиями на большое число малых ячеек. Каждая точка пересечения двух линий, являющихся сторонами ячейки, образует узел. Значения потенциала в узлах и являются искомыми величинами.

В двухмерном случае простейшая равномерная сетка, изображенная на рис. 3.1, состоит из квадратных ячеек, и ее рассмотрение наиболее естественно проводить в декартовой системе координат. Из каждого узла сетки, двигаясь вдоль сторон ячеек, можно попасть в четыре соседних узла, а при трехмерной сетке - в шесть соседних узлов. В первом случае сетка пятиточечная, во втором - семиточечная.

Используя обозначения, принятые в разд. 3.1, переписываем двухмерное уравнение Лапласа в декартовых координатах:

Прежде чем приступить к решению этого уравнения, представим его в конечно-разностной форме, удобной для численного анализа. Для равномерной сетки, изображенной на рис. 3.1,

Обозначим через значение потенциала в узле Двигаясь по прямой от узла к узлу находим

а при движении по прямой от узла к узлу получаем

Тогда для второй производной можно записать приближенное выражение

Аналогично двигаясь вдоль координаты у, находим

Подставляя значения вторых производных в приведенное выше двухмерное уравнение Лапласа, получаем разностное представление

Равенство (3.9) - искомая конечно-разностная аппроксимация уравнения Лапласа в однородной среде. Из (3.9) находим потенциал в узле сетки:

Следовательно, если значения потенциала в правой части равенства (3.10) известны либо могут быть каким-либо образом определены, то потенциал в узле находится как среднее арифметическое всех значений. На этом основан один из возможных методов решения уравнения (3.10) - итерационный. Идея метода заключается в следующем: задаются некоторые достаточно произвольные начальные значения потенциала во всех узлах сетки. Затем по (3.10) в каждом из узлов сетки эти значения потенциала пересчитываются в новые. Найденные таким образом значения еще раз подставляются в (3.10), и так до тех пор, пока изменения потенциала от итерации к итерации в каждом из узлов не будут меньше некоторого заданного уровня. Во всех узлах, расположенных на каждой из металлических поверхностей, потенциал задается одинаковым, что гарантирует выполнение граничных условий. В трехмерных задачах разностное уравнение, аналогичное (3.10), имеет вид

Аппроксимация, описанная выше и приведшая к уравнению (3.10), относится к числу простейших.

Опишем более общий подход, позволяющий не только переходить к неравномерным сеткам, но и включать в рассмотрение границы сложной формы. Подробности обсуждаются в подразд. 3.2.2. Здесь же проиллюстрируем его на примере равномерной сетки и трехмерного уравнения Лапласа в декартовой системе координат:

Конечно-разностная аппроксимация основана на разложении функции в ряд Тейлора, который позволяет записать разложение функции в окрестности точки а, если положить , где А мало по сравнению с а. Этот бесконечный ряд имеет вид

В нашей задаче, посвященной решению уравнения Лапласа, начнем с рассмотрения потенциала как функции координаты х.

Запишем ряд Тейлора

Пусть точка а - центр пространственной равномерной кубической сетки из семи узлов, изображенной на рис. 3.2. Присвоим центральному узлу нулевой номер, а остальным узлам - номера от 1 до и т. д.). Тогда потенциал в узле потенциал в узле 0 и

Аналогично для

Рис. 3.2. Кубическая сетка из семи узлов

Складывая эти равенства, получаем

В этом выражении, когда величина А достаточно мала, слагаемыми с и всеми последующими можно пренебречь ввиду их малости. Соответственно погрешность при расчете как потенциала, так и полей сохраняется отличной от нуля. Следует всегда помнить, что получаемое по методу конечных разностей решение всегда является приближенным, степень приближения зависит от густоты сетки и способа аппроксимации.

Вернемся к нашему рассмотрению. Легко видеть, что из последнего выражения следует соотношение

Аналогично

и

Суммируя последние три равенства, получаем конечно-разностную аппроксимацию трехмерного уравнения Лапласа в декартовой системе координат:

В двухмерном случае

следовательно

что совпадает с уравнением (3.10), полученным выше менее строго.

Воспользуемся для иллюстрации конечно-разностным уравнением (3.10) и найдем распределение потенциала в прямоугольной области (рис. 3.3), ограниченной прямолинейными идеально проводящими металлическими электродами. Наличие небольшого зазора между электродами позволяет поддерживать между ними отличную от нуля разность потенциалов. Величина потенциала на каждом из электродов постоянна и не зависит от времени. Пространство, ограниченное электродами, разбивается на 12 квадратных подобластей; в результате образуется шесть внутренних узлов с номерами от I до IV включительно и 14 внешних узлов (обозначенных буквами от а до включительно), потенциал которых совпадает с потенциалом соответствующей границы.

Порядок решения следующий. Положим потенциал всех внутренних узлов равным нулю и по (3.10) определим новые значения потенциала во внутренних узлах:

Рис. 3.3. Пример решения конечно-разностных уравнений методом итераций

узел I, первая итерация,

узел II, первая итерация,

узел III, первая итерация,

Отметим, что найденное значение потенциала в одном из внутренних узлов сразу же используется для отыскания потенциала в соседнем узле. Данная процедура повторяется для каждого из узлов обычно до тех пор, пока два следующих друг за другом приближения не совпадут с требуемой точностью, либо пока полная емкость исследуемой структуры не достигнет некоторого стационарного значения. На рис 3.3 вычисленные на каждом шаге итерации значения потенциала в каждом из узлов сетки выписаны вдоль диагоналей соответствующих квадратов. Как видно, эти значения постепенно сближаются, так как разность между ними уменьшается. Необходимо отметить, что все расчеты потенциалов в узлах проводятся с числами, имеющими ограниченное число десятичных разрядов. В результате появляется дополнительная погрешность округления, которая добавляется к погрешности, возникающей при конечно-разностной аппроксимации уравнения в частных производных.