1.4. ТРАНСФОРМАЦИЯ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Отрезок линии, нагруженный на одном конце на некоторое сопротивление, обладает трансформирующими свойствами, поскольку его входное сопротивление отличается от сопротивления нагрузки, что создает определенные трудности при расчете линий передачи, однако оказывается полезным, если правильно используется разработчиком. Проиллюстрируем особенности, связанные с явлением трансформации, на следующих примерах. Возможность трансформировать заданное сопротив-] ление нагрузки с помощью отрезка линии передачи определенной длины позволяет практически реализовывать разнообразные согласующие цепи. Однако измерение неизвестного сопротивления нагрузки усложняется, поскольку отрезок линии между нагрузкой и измерительным устройством трансформирует это сопротивление. Поэтому результаты измерений требуют дополнительной корректировки, прежде чем ими

Рис. 1.8. Отрезок линии передачи, нагруженный на сопротивление

можно будет воспользоваться. В обоих случаях необходимо владеть методом, позволяющим учесть явление трансформации.

Перепишем равенство (1.9), полагая, что сопротивление нагрузки не равной:

Полный ток I в некотором сечении линии (рис. 1.8) равен сумме токов, которые создаются падающей волной распространяющейся в направлении от сечениях до и отраженной волной в сечении где подключено сопротивление

В сечении отношение величин и из (1.23) и (1.24) должно быть равно сопротивлению

откуда

Множитель в правой части последнего выражения характеризует изменение амплитуды и фазы волны, обусловленное тем, что волна проходит по линии двойной путь: от источника до нагрузки и обратно.

Теперь перейдем к рассмотрению токов и напряжений в сечении Полагая запишем отношение выражений (1.23) и (1.24):

откуда

Здесь входное сопротивлеше отрезка линии (см. рис. 1.8). Подставляя (1.26) в (1.27), получаем

Прервем преобразования и выпишем ряд известных соотношений для гиперболических функций:

Аналогично можно показать, что Вернемся к равенству (1.28), подставив в него полученные выражения и сократив в числителе и знаменателе общий множитель

Выражение (1.29) устанавливает искомую связь между сопротивлением нагрузки на конце линии длиной I и входным сопротивлением последней. Равенство (1.29) можно записывать по-разному. Например, разделив числитель и знаменатель в правой части (1.29) на получим

Из (1.30) следует, что при равенстве сопротивлений нагрузки и волнового входное сопротивление линии совпадает с волновым, т. е. В этом случае исчезает волна, отраженная от нагрузки, и говорят, что линия идеально согласована.

Расчеты по формуле (1.30) проводят либо используя таблицы функции либо опираясь на графическое представление, рассматриваемое в гл. 4. Следует учитывать, что в общем случае величина у комплексна, т. е. и гиперболический тангенс от комплексного аргумента принимает комплексные значения. При численных расчетах можно воспользоваться известной формулой из тригонометрии

поскольку Значения функций находятся обычным образом. Более удобна формула

где действительная и мнимая части разделены.

Пример 1.3. Линия передачи длиной 100 м работает на частоте и вносит погонное затухание Каково сопротивление нагрузки на конце линии, если фазовая скорость в линии волновое сопротивление 50 Ом и входное сопротивление на входных зажимах со стороны нагрузки Ом.

Решение

Подобная проблема возникает при измерениях, когда по известным входному сопротивлению и параметрам линии необходимо определить

Перепишем (1.30) в виде

Отметим неслучайное сходство этого выражения с (1.30). Действительно, при выводе (1.30) за положительное принято направление от входа линии к нагрузке, а пересчет сопротивлений ведется от нагрузки к входу. Выписанное равенство соответствует при том же положительном направлении обратному пересчету от входа к нагрузке, поэтому в (1.30) следует заменить на — на на и учесть, что

Необходимо определить при Ом, Ом, I? 100 Ом,

В соответствии с этими данными

Далее находим

где

Таким образом,

Подставляя все найденные величины в исходное выражение, получаем

т. е. искомая величина

Приведенные выше вычисления достаточно громоздки из-за комплексности величин, которыми приходится оперировать. С помощью программы входное сопротивление вычисляется гораздо быстрее. Ниже вместе с текстом программы, написанной на языке Бейсик, приведены результаты расчета, получаемые после ввода исходных данных. При написании программы равенство (1.30)

непосредственно не использовалось, поскольку описание, опирающееся на понятие коэффициента отражения, проще. Кроме того, такое описание позволяет дать графическое решение, расматриваемое в гл. 4. Необходимую дополнительную информацию читатель найдет в разд. 1.7.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)