3.7. МЕТОД МОМЕНТОВ

Кроме описанных выше методов - конечно-разностного и Монте-Карло - решение уравнения Лапласа можно получить с помощью метода моментов [8], являющегося упрощенным вариантом более общего и чрезвычайно мощного метода, известного как метод конечных элементов [11].

Исходной точкой при описании метода моментов может служить закон Кулона

согласно которому сила взаимодействия между двумя точечными зарядами обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами. В векторной форме этот закон имеет вид

Рис. 3.15. Взаимодействие одноименных зарядов

где векторная величина и единичный вектор, направленный от . В зависимости от знака заряды притягиваются либо отталкиваются. На рис. 3.15 изображена ситуация, когда заряды одноименные. Если полярность зарядов разная, следует изменить направление вектора на противоположное, что будет соответствовать притяжению зарядов. Пусть заряд состоит из большего числа отдельных точечных зарядов Тогда полная сила, действующая на точечный заряд равна векторной сумме всех сил, создаваемых каждым из отдельных зарядов:

где индекс соответствует точечному заряду.

Эта сумма переходит в интеграл, когда заряд распределен с некоторой плотностью вдоль линии, поверхности или в объеме. Интегрирование ведется по всей области, занятой зарядом:

где величина заряда точке связана с плотностью распределения заряда в окрестности этой точки соотношением Плотность может быть функцией одной, двух либо трех координат:

В последнем случае интегрирование в (3.25) ведется по объему

Как следует из закона Кулона, на пробный заряд расположенный вблизи другого заряда действует сила, пропорциональная . Отношение этой силы к заряду очевидно, не зависит от величины пробного заряда и характеризует напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом Пусть бесконечно малый положительный заряд. Тогда вектор напряженности электрического поля

а для непрерывного распределения заряда

Пусть точечный заряд перемещается в статическом электрическом поле из точки А в точку В вдоль траектории, изображенной на рис. 3.16. Так как работа есть произведение силы на путь, то

Рис. 3.16. Движение точечного заряда в электрическом поле

где - символ скалярного произведения, т. е. , где угол между векторами Но работа в электрическом поле равна разности потенциалов между точками поэтому

или

Полагая, что точка А расположена на бесконечности, где потенциал равен нулю, получаем

Подставляя в (3.26) выражение, описывающее напряженность поля для точечного заряда, и учитывая, что находим

тогда как при непрерывном распределении зарядов с плотностью

где координаты точек, где расположен заряд; координаты точек, где определяется потенциал. Можно показать, что выражение (3.27) есть решение уравнения Пуассона

Предположим, что распределение потенциала в рассматриваемой системе нам известно, а плотность распределения зарядов не известна. Метод моментов позволяет восстановить функцию Как это делается? Один из способов заключается в следующем. Искомая функция представляется в виде

где неизвестные коэффициенты, а некоторые функции.

Рис. 3.17. Реальное распределение заряда (а) и его аппроксимация: импульсная (5); ступенчатая (в); кусочно-линейная (г) и с помощью полинома степенью

Согласно этому равенству в этой области или на той поверхности (линии), где находятся заряды, плотность их распределения представляется в виде суммы из слагаемых, каждое из которых соответствует заранее известному распределению Эти распределения выбираются различными способами. Обратимся к рис. 3.17, а, где изображена одномерная зависимость . В простейшем случае полагают, что функцию как показано на рис. 3.17, б, можно представить в виде дискретного набора бесконечно узких импульсов, амплитуда каждого из которых равна значению в соответствующей точке вдоль оси х. Эта ситуация показана на рис. 3.18. Поскольку амплитуды (весовые коэффициенты) находятся с некоторой погрешностью, всегда существует расхождение между реальным и рассчитанным распределениями заряда. Отметим, что интервалы между точками вдоль оси х не обязательно равные. Неравномерное распределение точек позволяет более тщательно описывать распределение зарядов в тех областях, где его изменения более сильно выражены.

Следующий вид аппроксимации ступенчатый (рис. 3.17, а). Ширина ступенек выбирается различной и зависит от характера изменения функции Как видно из

Рис. 3.18. Создание распределения заряда с помощью импульсов с весовыми коэффициентами

рис. 3.17, в, на отдельных интервалах значения аппроксимирующей функции больше истинных, на других - меньше, т. е. исходное распределение заряда описывается с определенной погрешностью. Однако на величине полного заряда эти отклонения сказываются слабо, поскольку определение полного заряда связано с операцией усреднения и сводится к нахождению площади под кривой, описывающей распределение заряда, а это эквивалентно низкочастотной фильтрации. Отсюда следует важный для практики вывод: даже при относительно грубой аппроксимации распределения плотности заряда емкость, определяемая по этому распределению, будет благодаря усреднению (фильтрации) вычислена достаточно точно.

Более сложные виды аппроксимации - кусочно-линейная (рис. 3.17, г) или полиномиальная (рис. 3.17, д) - чаще используются в методе конечных элементов и позволяют достигать лучших результатов; однако реализация на ЭВМ этих видов аппроксимации требует очень хороших навыков в программировании.

Аналогично осуществляется аппроксимация в двухмерном и трехмерном случаях.

Подставляя (3.28) в (3.27), получаем

На вычислительной машине наиболее просто реализуется импульсная аппроксимация. Предположим, что под влиянием некоторого потенциала на плоской поверхности прямоугольного проводника (рис. 3.19) появилось некоторое распределение заряда. Разобьем поверхность проводника на большое число малых подобластей. Из физических соображений ясно, что при такой аппроксимации заряд располагается в центре каждой из подобластей, а амплитуда всех импульсов полагается равной единице (рис. 3.19, а). Введение весовых коэффициентов (амплитуд) позволяет с помощью импульсной аппроксимации приблизиться к реальному распределению заряда. На рис. изображена такая аппроксимация для проводника прямоугольной формы, разбитого на девять подобластей площадью

Обозначим входящие в (3.29) величины

где расстояние от центра объема до точки с координатами через При записи учитывалось что, в

Рис. 3.19. Импульсная аппроксимация при равномерном распределении поверхностного заряда (а) и с учетом весовых коэффициентов (5)

объеме и равно О вне объема. Тогда (3.29) примет вид

Записав аналогичные соотношения для точек можно получаемую при этом систему уравнений представить в матричной форме:

или как

Предположим, что все величины рассчитаны. Вектор-столбец К содержит искомые весовые коэффициенты. Умножая обе части уравнения (3.30) на где матрица, обратная находим весовые коэффициенты:

Вернемся снова к равенству (3.29). В случае плоского проводника при в пределах элемента интеграл

где площадь подобласти, в центре которой располагается заряд.

Чтобы подробнее ознакомиться с методом, покажем, как выполнить с его помощью анализ конденсатора с воздушным заполнением. В простейшем случае этот конденсатор состоит из двух параллельных идеально проводящих пластин, разделенных воздушным промежутком. В первом приближении емкость такого конденсатора

Рис. 3.20. Прямоугольный плоский конденсатор: а) обозначения; б) структура электрического поля без учета полей краях пластин; в) поле вблизи краев пластин у конденсатора с небольшим зазором между ними чрезвычайно мало, а у конденсатора с большим расстоянием между пластинами — велико

Смысл величин ясен из рис. 3.20. Эта формула получена в предположении, что распределение зарядов по поверхности каждой из пластин равномерное на рис. 3.20, б), и без учета влияния электрических полей за пределами зазора между пластинами (краевого эффекта).

Метод моментов позволяет учесть дополнительную емкость, обусловленную краевыми полями, и получить более точное значение емкости. Попутно рассчитывается более близкое к реальному распределение заряда на каждой из пластин.

Объем вычислений при нахождении решения можно уменьшить, если положить, что одна из обкладок конденсатора находится под потенциалом , а другая - под потенциалом -1 В. Благодаря геометрической симметрии конденсатора распределение заряда на нижней его обкладке будет таким же, что и на верхней, но противоположно по знаку. Это позволяет вдвое уменьшить число неизвестных в матричном уравнении. Пусть из подобластей площадью элементов расположено на нижней и на верхней пластинах. Тогда матричное уравнение принимает вид

Матрица-столбец содержит неизвестных коэффициентов, но отмеченная выше симметрия позволяет уменьшить их число. Действительно, заряд элемента 1 будет равен по величине и противоположен по знаку заряду элемента т. е. а заряд элемента равен и противоположен заряду элемента т. е. Поэтому в уравнении остается Всего неизвестных, а само уравнение упрощается:

Каждый элемент модифицированной матрицы С, выписанной выше, равен вкладу в потенциал элемента от заряда элемента на верхней пластине и элемента на нижней пластине.

Поскольку вектор-столбец потенциалов в правой части модифицированного матричного уравнения состоит из одних единиц, то на обращении модифицированной матрицы С фактически заканчивается решение. Действительно, в этом случае каждый

из весовых коэффициентов (величины зарядов) в ячейке равен простой арифметической сумме матричных элементов, расположенных в соответствующей строке обратной матрицы Учитывая, что разность потенциалов между пластинами равна 2 В, находим емкость конденсатора:

где

Если размер всех площадок выбирать единичным, то

где элементы матрицы

Необходимо указать на одну трудность, которая может возникнуть при численном расчете диагональных элементов модифицированной матрицы С. Одно из слагаемых в этих элементах описывает потенциал ячейки, созданный ее собственным зарядом, т.е. следует вычислить интеграл вида

Трудность обусловлена тем, что при подынтегральная функция обращается в бесконечность. Харрингтон [8], используя таблицы интегралов [10], показал, что

при единичных размерах ячейки.

Результаты, полученные выше, были использованы при составлении программы для ЭВМ. Программа позволяет с учетом симметрии найти решение системы емкостных уравнений для конденсаторов с подобластями единичных размеров. Выполнение программы начинается с ввода размеров пластин конденсатора, состоящих из подобластей, размеры каждой из которых приводятся к единице. Затем вводится расстояние между пластинами. Далее считаются элементы матрицы С, которая затем обращается с помощью алгоритма Гаусса-Джордана. Завершается программа вычислением полного заряда.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Модифицированный вариант этой программы можно использовать для расчета волнового сопротивления отрезков симметричной полосковой и микрополосковой линий. Программа должна состоять из трех частей: 1) расчет с диэлектрическим заполнением; 2) расчет без диэлектрика; 3) определение волнового сопротивления в статическом приближении по найденным в пп. 1 и 2 величинам емкостей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)