3.5. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

Рассмотренный выше метод сеточной релаксации при решении уравнения Лапласа становится трудоемким не только при переходе к трехмерным задачам, но и при густых сетках. Основная трудность - ограниченность объема памяти ЭВМ. Известен другой численный метод решения уравнений вида (3.10) и (3.17), в котором значения потенциала в некоторой наперед заданной области линии передачи можно найти, не определяя предварительно значений потенциала во всех остальных узлах сетки. Такой метод чрезвычайно эффективен, когда нас интересует более подробно распределение потенциала лишь в некоторой подобласти. Например, требуется определить разность потенциалов между двумя (или несколькими) фиксированными точками. При этом никаких особых требований к объему оперативной памяти ЭВМ не предъявляется.

В основу положен метод статистических испытаний или, как говорят математики, метод Монте-Карло [7]. Проследим за движением пылинки, помещенной в один из узлов сетки, изображенной на рис. 3.1.

Если пылинка участвует в броуновском движении, т. е. движется беспорядочно (точнее, вероятность перемещения в любом направлении одинакова), то в некоторый узел частица может попасть с равной вероятностью из любого из четырех узлов, окружающих этот узел, т. е. вероятность попадания в узел есть среднее значение вероятности попадания частицы в соседние узлы. Обозначим эту вероятность через тогда при движении в плоскости

При пространственном блуждании коэффициент 4 в знаменателе равенства (3.21) следует заменить на 6. Сравнивая (3.21) с (3.10) и (3.17), легко заметить их сходство. Как показано в [7], аналогия между конечно-разностными уравнениями и уравнением, описывающим случайные блуждания, может быть использована для решения уравнения Лапласа. Обратимся к рис. 3.11. Пусть пылинка начала свой путь из

Рис. 3.13. Оценка области в методе Монте-Карло

некоторой узловой точки и после случайного блуждания попала на поверхность заземленного проводника, потенциал которого, как обычно, нулевой. Этому событию приписывается значение 0. Затем новая пылинка начинает свое движение из той же узловой точки. Если после случайного блуждания частица попадает на поверхность проводника с потенциалом , то событию приписывается значение 1. Повторяя описанную процедуру достаточно много раз и на каждом шаге фиксируя результаты эксперимента, находим отношение числа пылинок, достигших проводника с потенциалом , к общему числу пылинок, начавших движение из интересующего нас узла. Полученное отношение совпадает со значением потенциала в этом узле. По существу, метод Монте-Карло используется для решения системы уравнений в отдельных узлах, а не на всей сетке, как это имеет место при конечно-разностном решении. Этим определяются простота и универсальность метода Монте-Карло: 1) возможность вычисления потенциала в любой заданной точке без определения его во всех остальных точках; 2) тривиальность реализации.

Чтобы ближе познакомиться с методом, обратимся к рис. 3.13, где изображена расположенная в единичном квадрате двухмерная область, ограниченная замкнутым контуром. Точки блуждания распределены случайно по двум координатам; 20 из них попали внутрь контура, тогда как общее число точек равно 60. Это позволяет оценить площадь внутри контура, занимающую от общей площади (более точное значение 0,3). Чем больше точек используется при эксперименте, тем точность результата выше. Однако следует учесть следующую особенность всех алгоритмов с использованием метода Монте-Карло: для повышения точности, скажем, в 5 раз необходимо увеличить число точек в 25 раз. Это следует из закона больших чисел (теорема Бернулли).

Вернемся к нашей основной задаче нахождения волнового сопротивления и длины волны в линии через погонную емкость. В подходе, развитом в разд. 3.3, емкость определялась по значению потенциала во всех узловых точках, принадлежащих поперечному сечению линии. Существует другой метод определения емкости, основанный на законе Гаусса и не требующий столь полной информации, которому следует отдать предпочтение, если используется метод Монте-Карло.