4.1.1. ДИАГРАММА ПРОВОДИМОСТЕЙ

Из рассмотренного выше примера следует, что переход от сопротивлений к проводимостям соответствует повороту на диаграмме Смита точно на 180°, т. е. смещению вдоль линии на четверть длины волны. Если теперь каждую точку, соответствующую определенному значению нормированного полного сопротивления, повернуть на 180° и полученные таким образом комплексные числа снова нанести в координатах то опять получим диаграмму Смита, но уже для нормированных проводимостей. Результат такого построения схематически изображен на рис. 4.6, а на рис. 4.7 приведена полная диаграмма Смита для проводимостей. На эту диаграмму нанесены все точки из примера 4.1, как показано на рис. 4.8.

На практике встречаются ситуации, когда предпочтение отдается одной из диаграмм. Как правило, при расчете последовательно включенных сопротивлений удобнее диаграмма сопротивлений, а параллельно — диаграмма проводимостей. В более

Рис. 4.6. Диаграмма Смита для полных проводимостей с нормированными величинами проводимостей

сложных ситуациях можно воспользоваться диаграммой Смита для сопротивлений, на которой дополнительно нанесены значения проводимости, что заметно облегчает расчеты. Таким образом, одну и ту же диаграмму Смита можно использовать при расчете как по сопротивлениям, так и по проводимостям. Это свойство диаграммы иллюстрируется в примере 4.2 и отражено на рис. 4.10. Если быть внимательным, то переход от одной системы координат к другой не вызывает затруднений и не приводит к ошибкам.

В этом подразделе при решении различных задач будут использоваться диаграммы Смита обоих типов. Круг этих задач разнообразен. Прежде всего, это определение сопротивления нагрузки по известному (обычно из эксперимента) значению входного сопротивления отрезка линии, т. е. графическими методами находится решение уравнения (1.30), где отношение является искомой величиной. Осуществляется подобная операция на диаграмме элементарно, что позволяет легко ориентироваться при проведении расчетов вручную. Диаграмма незаменима, если под рукой нет таблиц гиперболических функций либо ЭВМ. Еще один класс задач, решаемых с помощью диаграммы, - исследование явления трансформации сопротивления нагрузки, нормированного к волновому сопротивлению линии, вдоль отрезка линии заданной длины. Проиллюстрируем это на следующих примерах.

Пример 4.2. Линия передачи с волновым сопротивлением 100 Ом нагружена на сопротивление Ом. Длина линии на рабочей частоте равна 0,2 от длины волны в линии. Определить входное сопротивление этого отрезка линии, полагая, что затуханием в нем можно пренебречь.

Решение

1. Нормируем сопротивление нагрузки к волновому сопротивлению линии:

На рис. 4.9 этому сопротивлению соответствует .

2. Проводим через . А прямую линию из центра диаграммы до пересечения с внешней окружностью На пересечении отсчитываем величину

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

3. Так как интересует трансформация сопротивления нагрузки вдоль линии, необходимо смещаться от нагрузки в сторону генератора, т. е. отсчет вести по внешней шкале по направлению к генератору.

4. Поскольку затухание в линии отсутствует, в любом ее сечении величина одинакова. Поэтому при определении входного сопротивления необходимо двигаться из . А по часовой стрелке (к генератору) вдоль окружности с центром в центре диаграммы и проходящей через Угол поворота равен электрической длиие отрезка, т. е. и перемещение по внешней шкале происходит из с координатой (

5. Искомая величина нормированного входного сопротивления лежит на пересечении прямой, проходящей через и центр диаграммы, с проведенной ранее окружностью постоянного на рис. 4.9). Отсчитывая значения нормированного сопротивления в получаем

или после денормирования

Величина в отрезке линии с заданной нагрузкой определяется радиусом окружности, проходящей через Для нахождения численного значения Кстц опускаем вниз перпендикуляр из лежащей слева точки пересечения окружности с горизонтальной осью диаграммы. По первой из шкал внизу находим (

Всегда следует внимательно следить за направлением, в котором происходит трансформация сопротивлений, и в зависимости от этого двигаться либо к генератору (по часовой стрелке), либо к нагрузке (против часовой стрелки).

Покажем, как при расчетах по диаграмме можно учесть потери в линии. Сохраним исходные данные для расчета прежними, добавив лишь, что затухание в отрезке линии на расстоянии, равном длине волны в составляет Определим входное сопротивление отрезка линии, полагая выполненными шаги с до и дополняя их новыми.

6. На отрезке длиной затухание равно т. е. падающая волна затухает на пока доходит до нагрузки, и на те же затухает отраженная волна, пока проходит путь от нагрузки до входа отрезка линии. В результате модуль коэффициента отражения уменьшится на Отмечаем на правой шкале "Потери с шагом в и восстанавливаем из нее перпендикуляр до пересечения с горизонтальной осью диаграммы

7. Проводим через полученную окружность с центром в центре диаграммы, по радиусу которой на входе линии с потерями определяем

8. Находим точку пересечения ранее построенной прямой линии, проходящей через с окружностью радиусом Считываем нормированное значение входного сопротивления отрезка линии с потерями

или после денормирования

Штриховой линией на рис. 4.9 ориентировочно показана траектория движения из

Из примера следует, что вычисления, проводимые по диаграмм, для линии с потерями менее точны, чем для линии без потерь, в основном из-за грубого масштаба по шкале потери, Кроме того, при построениях наносится лишь конечная точка т. е. в промежутке между необходимы дополнительные построения.

Если при расчетах по диаграмме Смита затухание учитывать как функцию длины линии, то получается линия, имеющая вид спирали, построенной на рис. 4.10. В линии без потерь мы двигались вдоль окружности с постоянным значением теперь же должны двигаться вдоль этой спирали. Шаг спирали зависит от положения стартовой точки на диаграмме и величины затухания на единицу длины волны в линии.

Рис. 4.10. Учет влияния затухания в линии на с помощью диаграммы Смита при движении от генератора к нагрузке (в) и от нагрузки к генератору (б)

С целью дальнейшей иллюстрации возможностей диаграммы Смита рассмотрим решение задачи, которая часто возникает при проведении измерений в ОВЧ и СВЧ диапазонах. Исходная постановка задачи проста: определить сопротивление нагрузки линии по результатам измерений, проводимых на некотором расстоянии от этой нагрузки. Методика графического решения подобных задач описана в следующем примере.

Пример 4.3. Измерения, с помощью которых находится неизвестное сопротивление нагрузки, проводилось на частоте 1250 МГц в линии с волновым сопротивлением 50 Ом. Обнаружено, что при подключенной нагрузке минимум напряжения располагался в линии на расстоянии от ее конца, а величина в этой линии оказалась равной 2,6. Затем нагрузка в линии была заменена коротким замыканием. В результате минимум напряжения сместился и оказался на расстоянии 12 см от конца линии. Используя информацию, полученную из этого эксперимента, определить по диаграмме Смита неизвестную величину нагрузки.

Предположим, что линия достаточно высокого качества и потерями в ней можно пренебречь. Кроме того, для упрощения положим, что заполнение в линии воздушное, т. е. фазовая скорость в ней близка к скорости света в свободном пространстве см/с). Процедура измерения у пока не рассматривается.

Рис. 4.11. (см. скан) Построения на диаграмме Смита для примера 4.3.

Решение

1. Отмечаем на первой шкале под диаграммой на рис. 4.11).

2. Строим окружность, соответствующую данному значению

3. Наносим на диаграмму , соответствующую положению узла напряжения при коротком замыкании.

4. Пересчитываем изменение положения минимума напряжения в линии при двух измерениях (нагрузка на конце линии и короткое замыкание) в доли длины волны. Так как

то сдвиг минимума произошел на см в сторону генератора, что в длинах волн .

5. Перемещаемся по внешней окружности диаграммы на расстояние, равное 0,24 к, в сторону генератора до

6. Считываем значение искомого нормированного сопротивления нагрузки. После денормирования получаем

7. При необходимости можно учесть потери в линии по методике, описанной в предыдущем примере.

Как видно из уже рассмотренных примеров и следует из примеров, разбираемых ниже, диаграмма позволяет решать задачи согласования в линиях, причем весьма просто и быстро. Диаграмма Смита особенно эффективна при решении задач проектирования фидерных трактов, и ею следует пользоваться на самых ранних этапах проектирования. Опытный разработчик, не прибегая к средствам автоматизированного проектирования, может с помощью диаграммы выполнить не только анализ конкретного варианта, но и рассмотреть альтернативные решения. Далее, обратившись к ЭВМ, можно уточнить полученное решение.