3.2.2. ОДНОРОДНЫЙ ДИЭЛЕКТРИК. НЕРАВНОМЕРНЫЕ СЕТКИ

Описанный выше метод, опирающийся на разложении в ряд Тейлора, является весьма гибким и позволяет получать конечно-разностную аппроксимацию, когда сетка неравномерна (асимметрична). Такие сетки, как известно, особенно полезны, когда возникает необходимость более тщательного исследования полей в отдельных подобластях. С точки зрения вычислений во внутренних краевых задачах целесообразнее уменьшать размер ячейки именно в тех подобластях, информация о

Рис. 3.4. Неравномерная сетка (а) и элементарный участок сетки (б)

которых должна быть более детальной, чем работать с более грубой, но равномерной сеткой. Поэтому необходимо уметь переходить от редкой сетки к более густой. Такая переходная область состоит, естественно, из ячеек различных размеров, что отражено на рис. 3.4, а.

Запишем с помощью ряда Тейлора потенциалы используя разложение по координате х для неравномерной сетки из пяти узлов (рис. 3.4, б):

Аналогично для

Из этих выражений следует, что

Простейшая аппроксимация, основанная на пренебрежении слагаемыми более высокого порядка, недопустима, так как приводит к весьма значительной погрешности. Поэтому получим более точную конечно-разностную аппроксимацию, чем использовалась ранее. Умножим обе части равенств (3.11) и (3.12) на некоторые постоянные соответственно и сложим полученные выражения:

Второе слагаемое в (3.13) равно нулю, если

Подставляя это значение А в (3.13), находим

В этом равенстве уже можно пренебрегать слагаемыми более высокого порядка, так как первое из отбрасываемых слагаемых имеет порядок

Аналогично, если положить в (3.13)

то можно определить

где первое из слагаемых более высокого порядка пропорционально т. е. ими также можно пренебречь. Представляет интерес положить в что соответствует переходу от неравномерной сетки к равномерной. В этом случае согласно (3.15)

что совпадает с ранее полученным выражением для равномерной сетки из пяти узлов.

Выписав выражение, аналогичное (3.14), для второй производной, но уже по координате у, можно получить искомую конечно-разностную аппроксимацию уравнения Лапласа на неравномерной сетке. Отметим, что погрешность аппроксимации на равномерной сетке имела порядок т. е. аппроксимация (3.14) менее точна. Поэтому в областях с быстрым изменением полей предпочтение следует отдать густым равномерным сеткам; там, где изменение полей более медленное,- тоже равномерным, но редким. Тогда неравномерная сетка появляется лишь в переходных областях.