Глава 5. СВЧ ЦЕПИ НА ОТРЕЗКАХ ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧИ

В предыдущих главах обсуждался ряд проблем, связанных с анализом и проектированием линий передачи. Методика анализа и синтеза, описанная для линии со стандартной и нестандартной геометрией, будет использована при расчете и синтезе ряда широко применяемых элементов цепей. Подобные анализ и синтез существенно облегчаются при использовании вычислительных программ, как уже рассмотренных в предыдущих разделах, так и приводимых в этой главе.

Устройства, описываемые в данной главе, можно рассматривать как некоторые базовые элементы, широко применяемые в радиоэлектронной аппаратуре диапазона СВЧ. Точный расчет таких элементов часто весьма труден, особенно на высоких частотах, когда нельзя пренебречь влиянием неоднородностей и излучением. В данной главе рассматриваются в основном приближенные алгоритмы расчета. Однако, опираясь на них, можно получить достаточно хорошее первое приближение для проектируемой цепи с необходимыми параметрами.

5.1. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ФИЛЬТРОВ НИЖНИХ ЧАСТОТ НА СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАХ

Проектирование фильтрующих цепей на основе линий передачи, как правило, начинают с рассмотрения фильтра, состоящего из сосредоточенных пассивных элементов. Выбранный соответствующим образом фильтр на сосредоточенных элементах обычно синтезируется с помощью таблиц. Электрические характеристики такого фильтра на сосредоточенных элементах, величины которых определены по таблицам, примерно совпадают с заданными при синтезе.

Далее по найденным значениям величин сосредоточенных элементов определяются значения величин элементов с распределенными параметрами. Необходимые для этого преобразования рассмотрены ниже. В данном разделе основное внимание уделено простым вычислительным программам, освобождающим разработчика от обращения к таблицам.

Рассматриваются фильтры нижних частот (ФНЧ) с двумя различными частотными характеристиками. Будет показано, как синтезированный прототип фильтра нижних частот с помощью несложных преобразований превратить в прототип фильтра верхних частот или полосового фильтра.

По определению, фильтр нижних частот представляет собой частотно-избирательную цепь с полосой пропускания от нулевой частоты до некоторой частоты среза На рис. 5.1, а показана амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) идеального ФНЧ, реализовать которую на практике невозможно из-за бесконечно большой крутизны характеристики на частоте но приблизиться к которой можно различными способами. Один из них заключается в аппроксимации АЧХ передаточной функцией, впервые предложенной Баттервортом [1]:

и описывающей зависимость коэффициента передачи от частоты. Фильтры с частотной характеристикой, соответствующей (5.1), получили название фильтров с характеристикой Баттерворта или с максимально плоской характеристикой, поскольку на частотах, много меньших частоты среза, коэффициент передачи таких фильтров практически не зависит от частоты.

Рис. 5.1. Идеальная (а), максимально плоская (б) и чебышевская (в) АЧХ фильтра нижних частот

Другой хорошо известный способ аппроксимации состоит в описании АЧХ фильтра следующей передаточной функцией:

где константа; полиномы Чебышева первого рода порядка описываемые выражениями

Из 5.3 следует

Полином Чебышева вычисляют обычно не по формуле (5.3), а с помощью рекуррентного соотношения, для записи которого удобно ввести обозначение при Тогда

а

Складывая два последних равенства, получаем искомое рекуррентное соотношение:

откуда следует, что

Именно так составлена табл. 5.1 полиномов Чебышева первого рода.

Таблица 5.1 Полиномы Чебышева первого рода

Типичная чебышевская АЧХ фильтра нижних частот показана на рис. 5.1, в. В полосе пропускания характеристика носит осциллирующий характер с неизменной амплитудой осцилляций. Поэтому иногда такие фильтры называют фильтрами с постоянной амплитудой осцилляций. Амплитуда осцилляций в полосе пропускания связана с крутизной характеристики на частотах выше если при неизменном числе звеньев фильтра увеличивать крутизну характеристики в полосе заграждения, то одновременно возрастает амплитуда осцилляций. Лишь изменяя число звеньев в фильтре, можно изменять крутизну характеристики при неизменной амплитуде осцилляций. По сравнению с фильтрами нижних частот Баттерворта аналогичные чебышевские фильтры имеют явное преимущество в полосе заграждения: при одинаковом числе реактивных элементов последние позволяют получить большую крутизну харктеристики, чем первые.

Увеличение числа реактивных элементов приводит к увеличению нелинейности фазочастотных характеристик (ФЧХ) фильтров этих типов. По сравнению с ФЧХ соответствующего чебышевского фильтра ФЧХ фильтра Баттерворта обладает большей линейностью. В случае, когда начинают доминировать требования к линейности фазовой характеристики проектируемого фильтра, преимущества чебышевского фильтра могут оказаться не столь существенными из-за недопустимой нелинейности его ФЧХ. Если линейность ФЧХ фильтра - главное требование, то предпочтение отдают фильтрам Бесселя, имеющим весьма линейную ФЧХ в полосе пропускания по сравнению с фильтрами Баттерворта и Чебышева, но гораздо худшую АЧХ. Фильтры Бесселя используются в фазовращателях и схемах, где требуется обеспечить заданную временную задержку проходящего сигнала [1]. В данной книге проектирование фильтров Бесселя не рассматривается. Однако приводимая ниже методика расчета фильтров Чебышева и Баттерворта может быть распространена и на эти фильтры.

Логарифмируя (5.1) и (5.2), получаем формулы для расчета вносимого фильтром затухания, выраженного в децибелах. Для фильтра с максимально плоской характеристикой

Для фильтра с чебышевской характеристикой

т. е. при

а при

где

В этих выражениях все частоты нормированы к частоте среза

Программа 5.1 LPATNN позволяет при заданном числе реактивных элементов рассчитать затухание, вносимое фильтрами этих двух типов, в интервале

нормированных частот от 0 до 1 с шагом 0,1. При расчете чебышевского фильтра необходимо задать амплитуду осцилляций в децибелах (при расчете фильтра Баттерворта эта величина полагается равной нулю). На рис. 5.2 построена полученная с помощью данной программы АЧХ чебышевского фильтра при амплитуде осцилляций в полосе пропускания, равной

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Обычно при синтезе необходимо по заданной величине затухания на определенной частоте в полосе заграждения определять число звеньев в фильтре. Для решения этой задачи выразим из (5.4) и (5.5) в явном виде:

Рис. 5.2. Затухание, вносимое чебышевским фильтром при амплитуде осцилляций

для фильтра Баттерворта

для фильтра Чебышева

где амплитуда осцилляций в полосе пропускания, При вычислениях по (5.7) удобно использовать тождество

На основе формул (5.6) и (5.7) составлена программа 5.2 NOSEC. Вычисляемое в программе число звеньев для того или иного фильтра перед выдачей на печать округляется до ближайшего большего целого числа, поскольку реальные конструкции фильтров обязательно имеют целое число звеньев.

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Синтезу пассивных фильтров посвящена обширная литература. Хорошим пособием является монография Вайнберга из [1]. Для более подробного знакомства с данной проблемой читатель может обратиться к работам [1] или к любым близким по содержанию.

Фильтр, как правило, располагается между генератором с известным внутренним сопротивлением и заданной нагрузкой (рис. 5.3), причем в большинстве случаев можно считать внутреннее сопротивление генератора и сопротивление нагрузки чисто активными. Такое представление весьма удобно, поскольку во многих работах, посвященных анализу и синтезу электрических цепей, схемы именно такого типа рассмотрены наиболее подробно. На рис. 5.4 изображена схема одного из подобных фильтров, где использованы общепринятые обозначения. Параметры связаны с корнями передаточной функции -звенного фильтра. При синтезе фильтра с заданной АЧХ параметры его элементов вычисляются через величины

Фильтр состоит из нескольких Т-образных цепей, образованных индуктивностями и емкостями. Можно построить аналогичную схему, дуальную к первой, состоящую из П-образных цепей, причем в этом случае будет емкостью параллельно включенного конденсатора, индуктивностью в последовательной цепи. Если и -емкости, то соответственно активные сопротивление генератора и нагрузки, если же индуктивности, то активные проводимости генератора и нагрузки. Существуют простые формулы для расчета параметров при синтезе фильтра на сосредоточенных элементах. Хотя формулы достаточно просты, их использование трудоемко (см., например, [2]). Поэтому в большинстве случаев разработчики, игнорируя эти формулы, пользуются таблицами, составленными по результатам численных расчетов, как, например, в гл. 13 монографии Вайнберга из [1].

Для фильтра Баттерворта параметры определяются по следующим формулам:

Рис. 5.3. Представление фильтра в виде четырехполюсника

Рис. 5.4. Фильтр нижних частот, нагруженный с обеих сторон

где аргумент синуса выражен в радианах.

Величины распределены симметрично относительно середины фильтра, что выполняется как при четных, так и при нечетных значениях Поэтому включение такого фильтра между равными сопротивлениями не приведет к рассогласованию.

Для чебышевского фильтра, имеющего амплитуду осцилляций в полосе пропускания, -параметры вычисляются по следующим формулам:

где

При нечетном величины распределены симметрично относительно середины фильтра, тогда как при четном симметрия нарушается. Эта особенность фильтра может оказаться полезной, когда необходимо согласовывать неравные сопротивления.

Пример 5.1. Рассчитать трехзвенный ФНЧ с максимально плоской характеристикой, подключенный к генератору с внутренним сопротивлением 50 Ом и нагруженный на -омиое сопротивление. Частота среза фильтра

Решение 4

Начнем с расчета параметров фильтра характеристикой Баттерворта, нормированных к 50 Ом и при т. е. -параметров:

Рис. 5.5. Схема фильтра для примера 5.1

Теперь необходимо перейти к ненормированным величинам. Пусть эквивалентная схема фильтра имеет вид, показанный на рис. 5.5. Конкретные величины элементов в схеме фильтра рассчитываем через -параметры, учитывая, что :

Обратите внимание на порядок расчета величин элементов схемы с помощью -параметров и на то, что величины элементов схемы симметричны относительно индуктивности фильтра.

Сформулируем правила, с помощью которых проводится пересчет нормированных значений параметров -параметров) в конкретные величины элементов фильтра:

1) пересчет при заданной частоте среза заключается в делении каждого нормированного значения относящегося к конденсатору или индуктивности, на заданную ненормированную угловую частоту среза в активные сопротивления в данной операции не участвуют;

2) пересчет при заданной величине сопротивления нагрузки заключается в умножении всех относящихся к активным сопротивлениям и индуктивностям, на и делении всех относящихся к емкостям, на

Пример 5.2. Рассчитать чебышевский ФНЧ на сосредоточенных элементах, имеющих в полосе пропускания амплитуду осцилляций Частота среза Затухание, вносимое фильтром на частоте, в 4 раза большей частоты среза, должно быть не менее Фильтр нагружен на сопротивление 75 Ом.

Решение

По заданию затухание Из (5.7) определяем необходимое число реактивных элементов:

Выберем поскольку при этом Кроме того, при нечетном величины параметров элементов симметрично распределены относительно середины, т. е. Рассчитаем -параметры для чебышевской характеристики:

Рис. 5.6. Схема фильтра для примера 5.2

Отсюда

Эквивалентная схема фильтра изображена на рис. 5.6. Рассчитываем величины всех элементов в соответствии с правилами пересчета при рад/с и

Хотя вычисления, проводимые при решении примеров 5.1 и 5.2, достаточно просты, по мере увеличения числа звеньев в фильтре объем вычислений заметно возрастает. Это утомительно, и, кроме того, трудно избежать ошибок, особенно при расчете чебышевских фильтров. Ускорить расчет позволяет программа 5.3 GVAL, которая находит -параметры для ФНЧ Баттерворта и Чебышева при заданных числе звеньев и величине в децибелах амплитуды осцилляций в полосе пропускания (в случае чебышевского фильтра).

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)