4.6.1. ABCD-МАТРИЦЫ

При анализе цепей из большого числа элементов либо повторении сравнительно простого расчета несложной цепи несколько тысяч раз (например, в задачах оптимизации) необходимо более эффективное средство для описания элементов цепей. Одним из средств является матричный анализ, основанный на матрице называемой иногда в литературе классической матрицей передачи. Отметим, что расчет цепей на основе ABCD-матриц требует гораздо меньших затрат машинного времени,

Рис. 4.37. Четырехполюсник

чем аналогичный расчет по программе CASCADE. Описание с помощью матрицы ABCD основано на том, что любой элемент, имеющий вход и выход, можно рассматривать как четырехполюсник. На рис. 4.37 изображена схема такого четырехполюсника и указаны положительные направления для входных и выходных напряжений и токов, связанных между собой следующими соотношениями:

или, если записать в матричной форме,

Отметим, что в качестве положительного для 12 выбрано направление к четырехполюснику. Линейная связь между величинами определяемая соотношениями (4.39) и (4.40), не является единственно возможной. Существует шесть различных пар линейных соотношений для указанных величин, и каждому варианту соответствует своя матрица второго порядка. Перечислим эти матрицы: 1) матрица сопротивлений матрица проводимостей -матрица; 4) матрица В в системе -параметров, обратная ABCD-матрице; 5) гибридная матрица Н в системе h-параметров; 6) гибридная матрица в системе -параметров, обратная матрице Н. Каждая из матриц может быть преобразована в любую другую.

Кроме указанных матриц для описания свойств четырехполюсников используют матрицу второго порядка, называемую матрицей рассеяния или -матрицей (см. подразд. 4.6.3). Таким образом, каждый элемент может описываться любой из семи матриц. В общем случае, если допустить, что исходные данные для описания могут вводиться в любом матричном представлении, а результаты анализа цепи из этих элементов должны быть в любом требуемом матричном виде, то вычислительная программа для анализа получается весьма сложной и громоздкой. На практике при разработке таких программ для выполнения операций над матрицами в качестве промежуточной выбирают матрицу При этом программа получается значительно проще, так как необходимо программировать лишь 12 из 36 преобразований:

Если элемент, описываемый ABCD-матрицей, соединен каскадно с элементом, также описываемым своей ABCD-матрицей (рис. 4.38), то подобное соединение можно представить эквивалентным четырехполюсником, ABCD-матрица которого равна произведению ABCD-матриц соединяемых четырехполюсников:

Рис. 4.38. Каскадное соединение четырехполюсников

Это значит, что каскадное соединение элементов можно заменить одним эквивалентным четырехполюсником, ABCD-матрица которого является произведением ABCD-матриц отдельных элементов. Отмеченное свойство весьма полезно, так как подобное перемножение матриц очень просто выполняется на ЭВМ по сравнительно короткой программе. Поэтому -матрица используется как промежуточная при разработке сложных программ независимо от способа описания исходных данных. Кроме того, для большинства используемых на практике элементов цепей известны -матрицы.