201. Площадь треугольника.

Рассмотрим теперь треугольник ABC, изображенный на рис. 252. Проведем его медиану AM и продолжим ее на величину MD, равную самой медиане AM.

Конец D полученного отрезка соединим с вершинами треугольника В и С. Четырехугольник ABDC — параллелограмм, так как его диагонали делятся по построению пополам. Высота и основание данного треугольника служат одновременно высотой и основанием параллелограмма; в то же время треугольник имеет площадь, равную половине площади параллелограмма, так как последний разбивается диагональю ВС на два равных треугольника, с одним из которых совпадает заданный треугольник. Итак, поскольку площадь параллелограмма выражается произведением основания на высоту, то для треугольника имеем следующее правило.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту (опущенную на это основание):

В случае прямоугольного треугольника можно найти площадь как половину произведения катетов треугольника:

Задача. Площадь треугольника АБС равна S. Сторона его АВ разделена точкой Р в отношении сторона ВС разделена точкой Q в отношении Найти площадь треугольника BPQ, отсеченного от данного треугольника отрезком PQ (рис. 253).

Решение. Проведем прямую, соединяющую вершину С с точкой Р.

Рис. 252.

Рис. 253.

Треугольники САВ и СРВ имеют общую высоту СН, и потому площади их относятся, как основания АВ и РВ, т. е. площадь треугольника СРВ составит две трети площади исходного треугольника: . Сравним теперь треугольники PBQ и СРВ. Приняв отрезки BQ и ВС за их основания, мы увидим, что они имеют общую высоту , и потому их площади относятся, как основания; поскольку , то площадь равна площади , или площади исходного треугольника.