Предисловие редакторов перевода

Книга Гейнца Шустера, профессора Института теоретической физики при Франкфуртском университете, чрезвычайно привлекательна для ознакомления с таким необычным для широкой аудитории предметом, как динамический хаос (или случайное поведение полностью детерминированных систем). Книга невелика по объему, достаточно информативна, изобретательно иллюстрирована и, наверное, займет достойное место среди уже имеющейся литературы по хаосу.

Мы уверены, что сильные стороны книги читатель оценит сам. Здесь же нам представляется уместным хотя бы обозначить те ключевые идеи, которые позволили существенно продвинуться в понимании и описании сложного поведения детермированных сред по сравнению с тем состоянием, что отражено в книге. При этом будем иметь в виду, что Шустер обсуждает лишь «маломерный» динамический хаос — самый простой из того, что встречается в природе и технике и поддается описанию с помощью детерминированных моделей.

Одной из наиболее ярких и важных проблем, непосредственно связанных с «многомерным» хаосом, является, конечно, турбулентность — нерегулярное поведение нелинейных сред или полей. Заметим сразу, что обсуждаемую в книге хаотическую динамику небольшого числа заданных в пространстве мод (или структур) можно отождествить с реальной динамикой нелинейного поля (скорости или давления в гидродинамическом течении, электромагнитного поля в плазме и т. п.) лишь в узком интервале значений параметров. Более точно, при относительно малом превышении порога неустойчивости, или, как часто говорят, при малой надкритичности. С ростом надкритичности, например числа Рейнольдса, число степеней свободы среды (или поля), эффективно вовлекаемых в хаотическое движение, в общем случае увеличивается, корреляции между ними разрушаются и хаос становится все более сложным. Этому соответствует увеличение размерности странного аттрактора, вложенного в фазовое пространство течения. Один из наиболее принципиальных вопросов здесь — связь числа вовлекаемых в хаотическую динамику поля коллективных возбуждений (мод) и размерности

аттрактора с картиной пространственного распределения поля. Как показали недавние физические и компьютерные эксперименты [1—4], по мере увеличения размерности аттрактора пространственная картина поля (или гидродинамического течения) все более усложняется. Например, если говорить о термоконвекции в горизонтальном слое, то по мере увеличения числа Рэлея регулярная решетка конвективных структур — ячеек Бенара — «плавится», появляются дефекты, несоизмеримая модуляция и, наконец, пространственно-временной хаос, который и есть собственно турбулентность.

Если маломерный хаос характеризуется сложным временным, но весьма простым пространственным поведением, отвечающим регулярной картине поля, то в турбулентном режиме сложным будет и временное, и пространственное поведение. Очень важен совсем недавно осознанный факт, что, подобно тому как случайность во времени может быть не связана с действием внешних шумов, случайное распределение поля в пространстве может быть следствием лишь детерминированных законов, управляющих изменением переменных вдоль координат, и весьма слабо зависеть, например, от случайных неоднородностей.

Сейчас уже в некоторой степени ясны и пути (сценарии) самозарождения и развития хаоса в пространстве. Прежде чем их обсудить, дадим простейшую классификацию этого круга процессов. Процессы возникновения и развития хаоса в нелинейных средах естественно разделять по характеру роста размерности аттрактора (или реализации — см., например, [5, 6]) в пространстве. Если динамика поля усложняется вдоль одного (или нескольких) направлений и, например, размерность реализации увеличивается вдоль координат, то такое развитие хаоса естественно назвать конвективным. Очевидно, что такой процесс наиболее интересен с точки зрения изучения «сдвиговой» турбулентности гидродинамических течений (пограничный слой, затопленная струя и т. п.). В случае же, когда хаотическое поведение нелинейного поля, возникнув в локализованной области, захватывает соседние участки и в конечном итоге в среде устанавливается пространственно-временной хаос с однородными в среднем в пространстве характеристиками, имеет смысл говорить об абсолютном развитии хаоса и соответственно изотропной турбулентности.

Содержательную теорию пространственно-временного хаоса удается построить в первую очередь в тех ситуациях, когда динамику нелинейного поля можно рассматривать как динамику ансамбля взаимодействующих стабильных и метастабильных структур.

Примеры таких элементарных структур — ленгмюровские солитоны в плазме [7], вихри Тейлора в течении Куэтта между вращающимися цилиндрами [8], многогранные ячейки в турбулентной конвекции [9, 10].

В предположении не слишком сильного взаимодействия индивидуальных структур (точнее, при их неразрушаемости) от исходных уравнений поля можно перейти к дифференциально-разностным уравнениям — так называемым решеточным моделям. Эти модели обладают известными преимуществами в компьютерном эксперименте и, что не менее важно, представляют определенные возможности для аналитического исследования пространственного развития турбулентности. Подобные модели естественным образом возникают в самых разнообразных физических ситуациях. Так, конвективное развитие хаоса наблюдается в цепочках направленно связанных автогенераторов [11, 12], электронных пучках, распространяющихся вдоль замедляющей системы [13], сдвиговых гидродинамических течениях [14]. Поясним картину пространственного развития хаоса на примере именно таких течений.

В результате развития первичной неустойчивости в течении формируется ансамбль динамических элементов — вихрей, связанных друг с другом за счет возмущений, распространяющихся вниз по потоку. Индивидуальная динамика этих вихрей может быть весьма разнообразной. В частности, на вихрях могут возникать периодические или квазипериодические колебания. Из-за взаимодействия вихрей друг с другом эти колебания будут усложняться, пока на одном из них они не станут хаотическими, — рождается странный аттрактор. При некоторых упрощающих предположениях удается показать, что развитие хаоса вдоль потока осуществляется путем конечного числа пространственных бифуркаций (перестроек течения), разворачивающихся не при изменении параметра, а в пространстве — вдоль цепочки структур. Характер пространственных бифуркаций определяется динамикой индивидуальных структур и видом связи [12].

Судя по физическим и компьютерным экспериментам [1, 3, 4], вблизи критической точки (точки возникновения хаоса) конкретные особенности неравновесной среды не сказываются на деталях того или иного реализующегося в среде сценария перехода. По аналогии с явлением универсальности возникновения хаоса в простых системах, о чем говорится в книге, это позволяет предполагать существование определенной универсальности перехода к турбулентности в пространственных задачах, или, более конкретно, надеяться, что каждому сценарию перехода отвечает некоторый универсальный

оператор, не зависящий от конкретных особенностей среды и определяющийся лишь типом критического поведения. Этот универсальный оператор должен быть неподвижной точкой соответствующего уравнения ренормгруппы, которое есть математическое выражение гипотезы о пространственно-временной масштабной инвариантности в критической точке и учитывает информацию о типе перехода. Сейчас уже имеются результаты по ренормгрупповому описанию пространственного развития турбулентности в потоковых системах [15], а также (для некоторых видов критического поведения) и в изотропных средах, где реализуется абсолютное развитие хаоса [15, 16].

Добавим, что в заключительных замечаниях в книге автор сам подчеркивает важность анализа связанных систем и возможность обнаружения здесь нетривиальных эффектов из области динамического хаоса. Этот прогноз полностью подтвердился. Упомянем сейчас лишь один из подобных эффектов — стохастическую синхронизацию. Он заключается в том, что при осуществлении диссипативной связи между стохастическими автогенераторами, демонстрирующими качественно различное случайное поведение, генераторы могут синхронизоваться. При достаточно сильной связи они начинают генерировать тождественные по своим средним характеристикам (энтропия, размерность, спектр) хаотические реализации. Причем одинаковой оказывается даже топология странных аттракторов в соответствующих парциальных фазовых подпространствах [17].

Мы пользуемся приятной возможностью, чтобы выразить признательность Г. Шустеру за помощь в подготовке русского издания книги.

Мы надеемся, что книга будет полезной для механиков, физиков, химиков и биологов, а также для студентов старших курсов и аспирантов соответствующих специальностей, интересующихся хаотической динамикой.

Перевод выполнили Ф. М. Израйлев (гл. 6, 7, заключительные замечания), М. И. Малкин (гл. 2, 3) и А. М. Рейман (предисловие, введение, гл. 1, 4, 5 и приложения).

А. В. Гапонов-Грехов

М. И. Рабинович