3.5. Экспериментальное подтверждение бифуркационного перехода

До сих пор основное внимание мы уделяли теории. Теперь рассмотрим некоторые эксперименты, лежащие в основе фейгенбаумовского перехода. Для начала перечислим те признаки, которыми такой переход характеризуется:

— существует бесконечный каскад удвоений периода, который приводит к появлению субгармоник с частотами — основная частота;

— каждая последующая субгармоника находится на уровне, в раз меньшем уровня предыдущей, где

— изменение управляющего параметра , соответствующего последовательным -субгармоникам, описывается соотношением типа

— внешний шум разрушает тонкую структуру спектра мощности, и чтобы сделать наблюдаемой еще одну субгармонику, требуется понизить шум в

— система имеет одномерное отображение Пуанкаре с единственным квадратичным максимумом.

Вслед за работой Фейгенбаума бифуркационный переход к хаосу был обнаружен в большом числе экспериментов: от маятника, возбуждаемого толчками, до химических реакций и оптических схем с двумя состояниями равновесия. Ниже детально обсуждаются три характерных примера.

На рис. 37 и 38 показаны спектры мощности в эксперименте Бенара и в цепи нелинейного электрического RCL-осциллятора с внешним возбуждением.

(см. скан)

Рис. 37. Ячейка Бенара, заполненная жидким гелием; представлен режим с двумя конвективными валами (а). Спектр мощности температуры при увеличивающихся числах Рэлея, которые пропорциональны Уровень субгармоник сравнивается со значениями из теории Фейгенбаума — штриховые линии (д) (Libchaber, Maurer, 1980).

Рис. 38. А — цепь нелинейного RCL-осциллятора; Б — зависимость величины тока от представляет собой одномерное отображение с единственным максимумом; В — определение константы S исходя из значений управляющего параметра — субгармоники спектра мощности при увеличивающихся значениях сравнение с теорией Фейгенбаума — штриховые линии

Экспериментальная установка для опыта Бенара уже описывалась в гл. 1. (Заметим, что в зависимости от параметров жидкости, размера ячейки и т. д. система Бенара демонстрирует различные переходы к хаосу.) Либхабер и Маурер (Libchaber, Maurer, 1980) обнаружили в экспериментах с жидким гелием следующие свойства фейгенбаумовского перехода:

а) с ростом разности температур (которая пропорциональна Управляющему параметру ) появляются субгармоники с частотами — основная частота;

б) последовательные субгармоники отличаются примерно на , что с качественной точки зрения соответствует теории . Высшие субгармоники подавляются за счет внешнего шума.

Хотя указанные результаты почти не оставляют сомнений в том, что мы имеем дело с фейгенбаумовским переходом, однако свести описывающие систему гидродинамические уравнения к одномерному отображению Пуанкаре с единственным максимумом пока не удалось. В этом отношении ситуация несколько лучше для нелинейного -осциллятора, показанного на рис. 38. Согласно Линсею (Linsay, 1981), нелинейным элементом в данной цепи является варикап, который порождает следующую зависимость между зарядом и напряжением

:

Дифференциальное уравнение для зависящего от времени заряда q имеет вид

    (3.115)

Такая цепь действует подобно аналоговому компьютеру для нелинейного осциллятора с возбуждением. На рис. 38 показано, что для специальных значений (которые играют роль внешнего управляющего параметра ) последовательные величины тока где фактически могут быть получены при помощи одномерного отображения с квадратичным максимумом. (Ток связан с зарядом зависимостью I — q, а величины соответствуют ) Соответствующий спектр мощности демонстрирует, как и следовало ожидать, все особенности бифуркационного перехода и позволяет получить оценку для числа 6, которая лишь на 10% отличается от асимптотического значения Фейгенбаума. На фото I на вклейке представлен фазовый портрет (в ) нелинейного -осциллятора Лаутерборна и др. (Lauterborn et al., 1984)). Отметим, что имеются как теоретические (Rollins, Hunt, 1982), так и экспериментальные (S. Martin, частное сообщение) обоснования того факта, что для RCL-осцилляторов, содержащих, как в описанных выше экспериментах, диод, емкость -перехода которого зависит от приложенного напряжения (варикап), хаотическое поведение вызвано не нелинейностью диода, а его большим временем восстановления. Но и эту ситуацию можно описать при помоши одномерного немонотонного отображения.

Чтобы показать, что фейгенбаумовский переход действительно встречается в системах совершенно различной природы, опишем в заключение акустический эксперимент (Lauterborn, Cramer, 1981), в котором такой переход наблюдался (рис. 39, а). В этом эксперименте через воду пропускали звук высокой интенсивности и измеряли выходной сигнал. Нелинейными элементами в данной системе

(см. скан)

Рис. 39. Экспериментальная установка для генерации и измерения кавитационного шума (я); последовательные спектры мощности, полученные в эксперименте (б) и в результате вычислений (в) при различном давлении на входе. Амплитуда шума соответствует насыщенности серого цвета, давление на входе (которое измеряется при помощи напряжения на пьезоэлектрическом цилиндре, являющемся источником возбуждения) растет линейно со временем. См. также цветной вариант в (фото VI на вклейке) (Lauterborn, Cramer, 1981).

являются области кавитации, т. е. пузырьки водяного пара, которые возникают благодаря градиентам давления исходной звуковой волны, причем осцилляции стенок этих пузырьков существенно нелинейны.

На рис. 39 показаны последовательные спектры мощности, полученные экспериментально (б) и при помощи вычислений (в) (в вычислениях учитывалось наличие единственного сферического пузырька). При увеличении давления на входе (которое является внешним параметром) наблюдался субгармонический переход к хаосу; этот переход кроме последовательности частот содержит также частоту Кроме того, когда данная система после хаотического поведения возвращается к линейному спектру, она проявляет признаки обратных бифуркаций.