3.4. Аналогия между удвоением периода и фазовыми переходами

В начале раздела предлагаем словарь, определяющий соответствие терминов из ренормгрупповой теории фазовых переходов 2-го рода и аналогичных им терминов, используемых при описании бифуркационного перехода к хаосу (табл. 3). Далее мы перечислим те доступные измерению свойства, которые характеризуют фейгенбаумовский переход, и обсудим некоторые типичные эксперименты.

В гл. 2 мы уже отмечали, что показатель Ляпунова соответствует параметру порядка вблизи фазового перехода 2-го рода. Табл. 3 показывает, что для перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения можно детально проследить его аналогию с «магнитным фазовым переходом». Оба явления обнаруживают определенное самоподобие в бифуркационной картине и картине кластеризации ориентированных вверх и вниз спинов в окрестности критической точки, что является основой для ренормгруппового подхода. Возникающая в результате универсальность является следствием того, что имеются лишь несколько существенных собственных чисел (см. также приложения 4 и 5).

Кроме того, можно найти скейлинг для показателя Ляпунова X и для корреляционной функции которые похожи соответственно на закон изменения намагниченности и спин-спиновой корреляции

Таблица 3. Аналогия между фазовыми переходами и удвоением периода (см. скан)

вблизи критической точки магнитного фазового перехода. Согласно (2.9), показатель Ляпунова отображения при определяется по формуле

    (3.101)

Используя соотношения

    (3.102)

получаем

    (3.104)

Итерируя это выражение, будем иметь

    (3.105)

Если в (3.105) положить и воспользоваться тем, что

    (3.106)

то, учитывая соотношение получим такой скейлинг:

    (3.107)

где выступает в роли критического показателя.

Это уравнение описывает, каким образом показатель Ляпунова стремится к 0, когда последовательность значений R, соответствующих одному и тому же (см. рис. 26), стремится к другими словами, для огибающей X выполняется степенной закон

Аналогично для корреляционной функции, которая, согласно (2.32), имеет вид

    (3.108)

можно найти скейлинг

    (3.109)

т. е.

Вновь используя (3.102), получаем

    (3.111)

Уравнение (3.111) позволяет получить различные скейлинги в зависимости от того, какую комбинацию переменных мы приравняем к 1. Обратим внимание на то, что при , корреляционная функция убывает с ростом по степенному закону, т. е.

    (3.112)

где

Оба этих степенных закона имеют аналоги в теории магнитных фазовых переходов:

    (3.113 а)

где М — намагниченность и — спин-спиновая корреляционная функция.