5.2. Энтропия Колмогорова

Энтропия Колмогорова (Колмогоров, 1954) — важнейшая характеристика хаотического движения в фазовом пространстве произвольной размерности.

Прежде чем ввести эту величину, вспомним, что термодинамическая энтропия S есть мера беспорядка в данной системе. Простой пример системы, в которой S растет, — молекулы газа, которые вначале помещены в одну половину куба и которым затем внезапно открывается возможность заполнить весь сосуд. Беспорядок в этой системе нарастает, так как молекулы больше не отделены от другой половины куба. Этот рост беспорядка связан с ростом нашего незнания о состоянии системы (до того как была убрана перегородка, о расположении молекул мы знали больше).

Более строго, энтропия S, определенная как

где — вероятности для системы оказаться в состояниях (см. приложение 6), есть мера информации, необходимой для определения местоположения системы в некотором состоянии , т. е. S есть мера незнания о системе (Shannon et al., 1949).

Этот пример из статистической механики показывает, что по существу беспорядок есть понятие из теории информации. Поэтому не удивительно, что энтропию Колмогорова К, показывающую, «насколько динамическая система хаотична», также можно определить формулой Шеннона, так что К пропорциональна скорости потери информации о состоянии динамической системы с течением времени.

Определение к. К можно вычислить следующим образом (Farmer, 1982 а, б). Рассмотрим траекторию динамической системы на странном аттракторе и предположим, что -мерное фазовое пространство разделено на ячейки размера Состояние системы будем измерять через интервалы времени . Пусть — совместная вероятность того, что находится в ячейке - в ячейке - в ячейке . По Шеннону, величина

пропорциональна информации, необходимой для определения местоположения системы на заданной траектории с точностью (если априори известны только вероятности Поэтому есть дополнительная информация, необходимая для предсказания, в какой ячейке будет система, если известно, что прежде она находилась в . Это означает, что описывает потерю информации о системе на интервале времени от до

Л-энтропия определяется как средняя скорость потери информации:

Предел (который берется после ) делает величину А независимой от частного вида разбиения. Для отображений с дискретным шагом по времени предел по опускается.

Из табл. 7 видно, что К — действительно пригодная мера хаоса: она равна нулю для регулярного движения, бесконечна для случайных систем, положительна и постоянна для систем с детерминированным хаосом.

Связь к с показателями Ляпунова. Для одномерных отображений К является также и показателем Ляпунова (см. табл. 7 и (2.12)). Для систем большей размерности информация о системе теряется, так как ячейка, в которой прежде находилась система, распределяется на новые ячейки в фазовом пространстве со скоростью, определяемой ляпуновскими показателями (рис. 64). Поэтому правдоподобно, что скорость К, с которой происходит потеря информации о системе, равна средней сумме положительных показателей Ляпунова (Песин, 1977):

Здесь — инвариантная плотность аттрактора. В большинстве случаев X не зависят от тогда интеграл равен 1 и К сводится к простой сумме.

Определение показателя Ляпунова X для одномерного отображения (см. (2.9))

Таблица 7. К-энтропия для (одномерных) регулярного, хаотического и случайного движений (см. скан)

Рис. 64. Двумерное отображение преобразует маленькую окружность в эллипс, полуоси которого изменены в соответствии с ляпуновскими показателями. Отметим, что не вносит вклад в К, так как этот показатель не приводит к заполнению новых ячеек после очередного шага по времени.

нетрудно обобщить на размерность d, когда существует d показателей для различных направлений в пространстве:

собственные значения произведения

где

— есть якобиан отображения

Отметим, что собственные значения (X,) якобиана инварианты к преобразованиям координат в фазовом пространстве, т. е. из (5.16) следует также инвариантность К, как и следовало бы ожидать для такой важной физической характеристики.

Среднее время предсказуемости хаотической системы. К-энтропия также определяет среднее время, на которое можно предсказать состояние системы с динамическим хаосом. Рассмотрим, например, простое одномерное треугольное отображение, ограниченное единичным квадратом (рис. 12). После шагов по времени интервал вырастает до . Если L становится больше 1, невозможно определить местоположение траектории на и можно лишь сказать, что система с вероятностью

находится на интервале где — инвариантная плотность системы. Другими словами, точное предсказание состояния этой системы возможно только на интервале времени таком, что

На временах, больших возможны лишь статистические предсказания. Уравнение (5.21) можно обобщить на динамические системы большей размерности заменой X на А-энтропию (Farmer, 1982а):

Отметим, что точность с которой определяется местоположение начального состояния, влияет на лишь логарифмически. Подведем итоги результатам по -энтропии.

Она является мерой средней скорости потери информации о состоянии динамической системы с течением времени.

Для одномерных отображений она равна показателю Ляпунова. Для систем большей размерности К есть мера средней деформации ячейки в фазовом пространстве и равна усредненной по фазовому пространству и сумме положительных показателей Ляпунова.

Она обратно пропорциональна интервалу времени, на котором можно предсказать состояние хаотической системы.

Кроме того, в следующем разделе будет показано, что нижнюю границу А-энтропии можно получить непосредственно по измеренной зависимости от времени одной из компонент хаотической системы. Эти результаты показывают, что А-энтропия — именно та фундаментальная величина, которая характеризует хаотическое движение, и странный аттрактор можно определить как аттрактор с положительной энтропией.