5. Прореживание и интегралы по траектории для внешнего шума

Мы представим здесь вывод выражения для скейлинга показателя Ляпунова (3.91), изложенный в важной работе (Feigenbaum, Hasslacher, 1982). Главная цель — объяснить метод прореживания, с одной стороны, имеющий широкий диапазон возможных приложений (например, для описания перехода от квазипериодичности к хаосу, рассмотренного в гл. 5), а с другой — очень похожий на метод ренормализации одномерной модели Изинга (см. приложение 4).

Вначале представим итерации (3.87)

в виде интегралов по -функциям:

где — независимые случайные переменные с гауссовым распределением вероятностей

Если использовать и проинтегрировать по то среднее значение приобретает вид

Если переменную интерпретировать как индекс узла, то это среднее имеет вид интеграла по траектории, напоминающего выражение термодинамического среднего для намагниченности и пригодного для ренормгруппового анализа. Идея заключается в том, чтобы выполнить интегрирование полг, шаг за шагом, т. е. ренормализация заключается в выделении всех с нечетными i (эта процедура называется «прореживанием») и перенормировке переменных так, чтобы эту последовательность операций можно было повторить.

Выберем — целая величина) и разделим в переменные с четными и нечетными индексами:

При малых амплитудах шума интегралы по нечетным переменным

можно оценить методом перевала.

Простейшая форма метода перевала, например для функции с резким пиком при состоит в замене интеграла значением подынтегрального выражения при

Например, рассмотрим при интеграл

Используя метод перевала, получим

Здесь «точка перевала» определяется условием максимума при

Применяя этот метод к вместо получаем

и, следовательно,

Здесь опущены все коэффициенты перед экспонентой, так как они сокращаются при вычислении и введено обозначение

Таким образом, после одного шага интегрирования а зависит от т. е., когда мы повторим эту процедуру (см. далее), всегда будет существовать зависимость а отле, и вместо можно с самого начала рассматривать

По аналогии с предыдущими вычислениями для этого мы также получим для которого заменяется на

Объединяя изменяя масштабы и индексы, т. е.

получаем

где Т — оператор удвоения:

и

т. е. получается действием линейного оператора на Отметим, что изменение масштабов и индексов необходимо, чтобы привести выражение для к прежнему виду так что всю процедуру ренормализации можно повторить.

После шагов окончательно получим

Для снова имеем (см. (3.53)):

и по аналогии с

где обозначают наибольшее собственное значение и собственную функцию Тогда можно записать в виде

Для показателя Ляпунова X это дает

где а обозначает начальную амплитуду шума. Если положить

получим искомое скейлинговое поведение X:

где

Отметим, что численное значение полученное как решение уравнения для собственных чисел

разумно согласуется с наиболее точным значением Это подтверждает правильность предыдущего исследования влияния внешнего шума.